Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Théories de cordes topologiques, Invariants et D-braneUn autre résultat intéressant est l’étude de l’ensemble N des noeuds où la valeur moyennedans le vide du produit de boucles de Wilson s’écrit comme :〈γ W 1R 1(A) . . . W γ nR n(A) 〉 = 1 ∫ ( n)∏[DA] W γ n iRZ (M)nie iS , (3.84)les R i sont des représentations irréductibles du groupe de jauge SU(N). Cette expressionest extrêmement concise grâce à la prescription du produit de boucle de Wilson. En effet,on peut calculer l’invariant de deux représentations correspondantes à un même noeud.L’exemple intéressant dans ce cas est la construction du nombre d’entrelacs de Hopf quiconsiste à entrelacer deux noeuds :〈 ∮∮W R1 R 2= T r R1 P exp AT r R2 P expΓ 1i=1Γ 2A〉(3.85)Fig. 3-5 – Entrelac de HopfCette relation est importante car si on a une représentation triviale, cela permet de déterminerl’invariant ”unknot” W R• . Il faut souligner qu’il existe une identification entrel’invariant ”unknot” et la fonction de Schur|R| (−NW R = q 2 sR 1, q, q 2 , · · · q N−1) . (3.86)qui est exactement la dimension quantique d’une représentation R :dim q R ≡ W R (q) = W R (q) = s R (q ρ )De même pour les invariants des entrelacs de Hopf W λµ = W µλ en termes de fonctions deSchur est sous la forme :W µλ = W µ s λ (q µ+ρ ).69