Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Contributions à l’Etude du Vertex Topologique en Théorie des Cordestopologique permet, ensemble avec le propagateur, de calculer toutes les amplitudes dela corde topologique en présence des branes [73]-[76]. Ici les diagrammes de Feynman nesont autre que les diagrammes toriques des variétés locales de Calabi-Yau dont les lignesgénérent les cycles de la fibration torique et dont les sommets sont des vertex trivalents.Ces diagrammes toriques forment la base de la variété de Calabi-Yau torique C 3 [77], [78].Le vertex C R1 R 2 R 3avec R i ≠ ∅ représente des cordes ouvertes qui se terminent sur desempilements de branes, dont les configurations sont codées par des diagrammes de YoungR i , i = 1, 2, 3. Le calcul des amplitudes topologiques utilise C R1 R 2 R 3qui est fonction deq = e −g set qui peut être exprimé sous plusieurs formes ; soit en terme de fonctions deSchur commeC λ,µ,ν (q) = q k(µ) s ν t(q −ρ ) ∑ ηs λ t /η(q −ν−ρ )s µ/η (q −νt −ρ ) , (1.13)définissant une fonction génératrice des invariants de Gromov-Witten, soit en fonction desinvariants topologiques donnés par la relation suivante [80, 88] :C λµ t ∅ (q) = q − k(µ)2 Wλµ (q) , (1.14)où λ, µ et ν sont des partitions 2d et W λµ (q) est une expression combinatoire reliée àl’invariant d’entrelac de Hopf. L’éq(1.14) est remarquable dans le sens où elle établit unerelation naturelle entre les invariants de Gromov-Witten [83, 84, 85, 86] et les invariantsde la théorie de Chern Simons [87].Signalons également que le vertex topologique C λ,µ,ν (q) peut être généralisé en une fonctiondépendant de deux arguments q et t,q = e iɛ 1, t = e −iɛ 2,pour donner naissance au vertex topologique raffiné C λµν (q, t). La fonction de partition dedeux paramètres ɛ 1,2 avec ɛ 1 + ɛ 2 ≠ 0 est la fonction de partition raffiné de la corde topologiquefournissant à son tour un raffinement des théories de Gromov-Witten et Donaldson-Thomas de la variété de CY 3 torique. Cet axe de recherche connaît actuellement une grandeimportance à la fois en physique théorique et en mathématique. Nous aurons donc affaireà différentes connections entre des propriétés mathématiques et des applications physiquesoù s’entremêlent plusieurs objets tels que la fonction de partition, les fonctions de Schur,les diagrammes de Young à 2D et 3D, le cristal fondu et la théorie des cordes topologiques.Tous ces objets constituent un champ de recherche très prometteur.20