Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Fonctions de Schur et MacMahonOn peut aussi représenter la fonction de schur-gauche en termes d’éléments de matricesdes opérateurs vertexS R/Q (x) = 〈R| V − (x i ) |Q〉 = 〈Q| V + (x i ) |R〉Finalement, nous terminons par les formules qui seront très utiles dans le calcul de la fonctionde partition de la corde topologique en utilisant le formalisme de vertex topologique.On considère un diagramme de Young λ et une case d’une partition λ (i, j). On rappelleque le contenu c(i, j) de la case est c(i, j) = j − i, la longueur de crochet h(i, j) estλ ′ i + λ j − i − j + 1 et le poids minimum d’une partition est donné par m (λ) = ∑ iles fonctions de Schur sont données par les formules suivantes :∏n+c(i,j)s λ (1, 1; · · · , 1) =} {{ }h(i,j)(i,j)∈λn fois∏s λ (q, q 2 ; · · · , q n ) = q m(λ)s λ (q −ρ ) = q |λ|(i,j)∈λ∏2 +n(λ)(i,j)∈λ1−q c(i,j)+n1−q h(i,j)11−q h(i,j)iλ i . AlorsExemple : Prenons la partition λ = (2, 2). La fonction de Schur est sous la forme suivante8.2.2 Opétareurs vertexs (2,2) (q, q 2 , q 3 ) = q 6 (1−q 3 )(1−q 4 )(1−q 2 )(1−q 3 )(1−q 3 )(1−q 2 )(1−q 2 )(1−q 1 )= q 6 + q 7 + 2q 8 + q 9 + q 10 .Cette partie vise à définir la relation entre les états de la théorie des champs conformes(champs fermioniques libres à 2d) et le diagramme de Young. La représentation irréductiblede SU(N) peut être caractérisée par les états dans l’espace de Hilbert qui est généré parles états d’espace de Fock. En effet, soit une partition à 2dλ = (λ 1 , λ 2 , λ 3 , · · · ) , λ i ≥ λ i+1 , (3.3)nous pouvons associer à un état quantique |λ〉 , l’énergie E = ∑ r i qui est le nombre total deboîtes dans le diagramme de Young (n 1 , n 2 , · · · , n r ). Nous commençons par définir l’espacedes états de Fock fermionique :V = V 0 ⊕ V 1 ⊕ V 2 · · ·Le seul état de V 0 est le vide |0〉, qui par définition ne contient aucune particule. Pourcompléter cette définition sur V n , nous allons maintenant définir les générateurs ψ i et ψ ∗ i259