Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Modèle Cristallin du Vertex[152] ont proposé la méthode de matrice de transfert. Cette méthode peut être définiecomme l’opérateur d’évolution qui porte l’information d’une tranche à autre. Conformémentà certains résultats en théorie combinatoire, notamment ceux de Percy MacMahon[92], Okounkov et Reshetikhin ont pu retirer le résultat classique de MacMahon sur lafonction génératrice des partitions planairesZ fermée (q) = M(q) :=n=1(1 ∏ − q n ) −n . (3.7)En effet, cette fonction génératrice n’est autre que la fonction de partition du cristal fondu,définie comme une somme sur toutes les configurations de partition possibles et l’exposantde q n’est autre que le nombre d’atomes fondus.Z cristal (q) =∑q #boxes . (3.8)3d partitionLa méthode d’Okounkov et Reshetikhin est généralisée pour faire face au vertex topologiquedu modèle A sur les variétés de Calabi-Yau à trois dimensions. Or, la connaissance de laméthode de matrice de transfert permet de déterminer la fonction de partition de l’ensembledes cristaux, en termes des opérateurs de la théorie des champs conforme à deux dimensions(fermion libre à 2d). La fonction de partition du cristal s’exprime comme une séquenced’opérateurs qui agissent sur les états associés aux asymptôtes des diagrammes de Young.Le principe de cette méthode consiste à associer à chaque partition 3d une séquence departitions 2d. On pourra trouver ce résultat à partir de la coupure diagonale de π par desplans x = y − a, (voir Figure (3-3)) .Fig. 3-3 – Coupure en tranche diagonale de la partition 3D π par des plans x = y − a,Ces partitions 2d obéissent à la condition d’entrelacement :µ(t) < µ(t + 1), t < 0, µ(t + 1) < µ(t) t ≥ 0 (3.9)109