Contributions Ã l'Etude du Vertex Topologique en ThÃ©orie ... - Toubkal

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Fonctions de SchurBien qu’elles ont été définies par Jacobi, les fonctions de Schur jouent un rôle fondamentaldans la théorie des representations. Nous commençons par rappeller la définition originale.La fonction de Schur est définie par :s λ = a λ+δa δavec a δ est le déterminant de Vandermondea δ =∏(x i − x j ) = det(x n−ji ).1≤i
Fonctions de Schur et MacMahonProposition (Cauchy) : Etant donné deux ensembles de variables x = (x 1 , x 2 , · · · ) et y =(y 1 , y 2 , · · · ) , les séries génératrices des fonctions de Schur vérifient les conditions suivantes :∑s λ (x)s λ (y) = ∏ (1 − x i y j ) −1 ∑, s λ (x)s λ t(y) = ∏ (1 + x i y j )i,ji,jλet la somme s’effectue sur tous les tableaux de Young. Pour le cas de la fonction de Schurgauche (ou en anglais skew Schur, elle vérifie les conditions suivantes :∑s λ/η (x)s µ/η (y) = ∏ (1 − x i y j ) ∑ s η/λ (x)s η/µ (y)ηi,jη∑s λ/η (x)s µ/η (y) = ∏ (1 + x i y j ) −1 ∑ s η t /λ(y)s η/µ (x)ηi,jη∑s η/λ (x)s η (y) = s λ (y) ∑ s µ (y)s µ (x)ηµ∑s η t /λ(x)s η (y) = s λ (y) ∑ s µ (y)s µ t(x)ηµ∑s λ/η (x)s η/µ (y) = s λ/µ (x, y)η∑s λ/η (x)s η (y) = s λ (x, y)ηPour une représentation fondamentale λ = •, la fonction de Schur est définie pars λ/• = s λet si λ ⊂ µ alors s λ/µ = 0. Les fonctions de Schur forment une base orthonormée pour leproduit scalaire 〈., .〉{0, si λ ≠ µ〈s λ (x), s ν (y)〉 = δ (λ,ν) =1, si λ = µoù δ (.,.) est le symbole de Kronecker. C’est une conséquence de la formule de Cauchy entermes des variables x = (x 1 , x 2 · · · ) et y = (y 1 , y 2 · · · )∑s λ (x)s λ (y) = ∏ (1 − x i y j ) −1i,jλNotons que l’une des motivations principales à la sommation des fonctions de Schur sur desensembles de partitions est la détermination de fonctions génératrices de partitions planes.Considérons une autre forme de fonction de Schur gauche ”fonction Schur gauche”, avecλ et µ sont deux partitions telles que le diagramme gauche λ/µ soit une représentationprincipale de sa classe d’équivalence :λs λ/µ = ∑ νc λ µνs ν257
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