Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

4.3 Version raffinée de la fonction perpendiculaireoù H(i, j) est la longueur d’équerre de l’ensemble des boites (i, j). La fonction de partitionZ 3D (q) peut être exprimée comme un produit sur toutes les boîtes. Chaque boîte contribuepar un facteur de (1 − x) −1 où x est le produit de paramètres q i indexé par la longueurd’équerre.Nous considérons maintenant la fonction de partition perpendiculaire raffinée sur laquellenous imposons des conditions de bords :P λ,µ,ν (q) = ∑ π\π 0∏k∈Zq |λ(k)|k(3.39)où la somme est sur toutes les partitions 3D. Chaque partition π peut être tranchée detelle sorte que nous obtenons des partition 2D π(a) le long de la diagonale. La fonction departition perpendiculaire dans le cas où λ et µ sont des partitions non triviales, prend laforme :P λµν (q) = Z ν (q) ∑ ηs λ t /η(x + )s µ/η (x − ) (3.40)avec x ± = {x ± m|m ∈ Z + 1 }. Dans la sous-section suivante, nous allons limiter notre analyse2à l’étude de l’expression de la fonction de partition en termes de deux paramètres q et t.4.3.2 P λµν (q, t)Comme nous avons vu dans la section précédente, nous pouvons calculer la fonction departition en choisissant les paramètres q t . Si ces derniers se réduisent à :{q , α ≥ 0q t =t , α < 0alors la fonction de partition sera comme :Z 3D (t, q) =(3.41)∞∏(1 − t i q j−1 ). (3.42)i,j=1Par la suite on va considérer le cas où ν est non trivial. Il existe une transformation entrex ± = {x ± m|m ∈ Z + 1 } et {t, q} qui est représentée par :2{x + m|m ∈ D + } = {t i q −ν i| i = 1, 2, 3, · · · }{x − m|m ∈ D − } = {q j−1 q −νt j | j = 1, 2, 3, · · · }(3.43)avec D + et D − représentent respectivement l’ensemble des boîtes noires et blanches dansle diagramme de Maya correspondant à la partition ν 2 . Si nous considérons la i-ème boîte2 Voir l’annexe.118