Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Modèle Cristallin du VertexEn utilisant la méthode de matrice de transfert, la fonction de MacMahon raffinée estcalculée de la même manière que dans le cas standard. En effet la fonction de MacMahonen termes d’opérateurs de création et d’annihilation est sous la forme suivante :Z 3D (q) = ∑ ∏0∏ ( )q |η aa |∏ ∞ ( )= 〈0| Γ − x + Γ−k+ 1 + x − |0〉−k+ 1 π a∈Zk=−∞2 k=12∏= ∞ ∞∏ () −1 (3.34)1 − x + x − k 1 − 1 −k 2 2 + 1 2k 1 =1 k 2 =1Les variables x + et x − sont exprimées en termes des variables q comme suit :x + k+ 1 2x − − 1 2= k−1 ∏i=0q i , k ≥ 1= 1 , x − −k+ 1 2= k−1 ∏i=0q −i k ≥ 2(3.35)Nous déduisons alors l’expression de la fonction de MacMahon :()∞∏ ∞∏k∏1 −1 k 2 −1 −1∏Z 3D (q) = 1 − q i q −j . (3.36)k 1 =1 k 2 =1Quand q i = q où i ∈ Z, nous obtenons la fonction de MacMahon standard à 3 dimensions :∞∏ (Z 3D (q) =) 1 − qk −k(3.37)k=1Après avoir démontré que l’égalité pour laquelle tous les paramètres sont ègaux l’un àl’autre est en accord avec celle initialement obtenue, il est naturel d’étendre l’étude en introduisantdes partitions λ et µ non-triviales. La fonction de partition, où ν est la partition2D le long de la direction préférée et λ = µ = ∅, est donnée par :νi=0j=1q tλ µFig. 3-7 – ν est une partition 2D représentée le long de la direction préférée.Z ν (q) = P ∅∅ν =∏(i,j)∈ν c (1 − q (i,j) ) −1 , q (i,j) =117∏(a,b)∈H(i,j)q b−a , (3.38)