Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Fonctions de Schur et MacMahonavec λ 1 ≥ λ 2 ≥ · · · . La fonction génératrice du nombre de partitions s’écrit∑p 1 (n)q n = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x 5 + 11x 6 + 15x 7 + 22x 8 + · · ·n=0= ∏ (1 − x i ) −1i≥1où q est une variable indéterminée et p 1 (n) indique le nombre de partitions de taille n. Lapreuve de cette fonction de partition est donnée en terme d’une partition λ et satisfait àla condition suivante :|λ| = λ 1 + λ 2 + ...λ m = ∑ iid i d i = λ i − λ i+1et la fonction génératrice en terme de l’indéterminé est donné par∑q |λ| =λ∑d 1 ,d 2 ,···q d 1+2d 2 +··· = ∏ i≥1∑q id i= ∏ ( ) 1 − xi −1i≥1Une partition à trois dimensions est souvent appelée une partition plane avec la fonctiongénératrice s’écrivant sous la forme suivante :∑p 2 (n)q n = 1 + x + 3x 2 + 6x 3 + 13x 4 + 24x 5 + 48x 6 + 86x 7 + 160x 8 + · · ·n=0= ∏ (1 − x i ) −ii≥1d ioù p 2 (n) est le nombre des partitions planes. MacMahon a conjecturé l’identité suivantedans la terminologie des partitions planes : la fonction génératrice d’une partition à ddimensions (d-partition) du cube à d-dimension est donnée parG d (q) = ∏ (1 − q i ) − (i+d−3)!(i−1)!(d−2)!i≥1(3.6)Il est important de souligner que cette expression qui a été conjecturé par Macmahon, futdémontrée via le formalisme de matrice de transfert [93]. Et elle possède une interprétationphysique en termes des théories des champs conformes.8.3.2 Fonctions génératricesLa fonction de Macmahon développée en mathématique semble avoir trouvé aussi d’intéressanteapplication dans le domaine de la physique, notamment dans la physique statistique,théorie des cordes. Grâce au formalisme de la matrice de transfert, il existe un lienétroit entre la fonction de Macmahon et le modèle de cristal fondu qui est exactement la265