Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Théories de cordes topologiques, Invariants et D-branedont la courbure est R, un gravi-photon de courbure F ph et un champ scalaire complexeφ i qui correspond au module de kahler de la variété M. Dans ce cadre, l’action effective dela théorie des supercordes devient une action de la théorie de supergravité de genre g ≥ 1∫d 4 xF g(φi ) R 2 +F 2g−2ph,+ , (3.67)avec + représente la partie self dual. Ce terme décrit une diffusion de graviton et graviphotonsdont les expressions sont encodées dans la fonction F g . Les F g sont identifiées auxamplitudes de la corde topologique de type A de genre g. Dans cette identification, leschamps scalaires sont interprétés en termes des modules t i de la variété M. Il s’avère quel’amplitude F 0(φi ) de genre g = 0 permet de calculer le prépontentiel de la théorie dejauge N = 2 dont la constante de couplage de jauge est donnée par :τ ij = ∂ i ∂ j F 0 (3.68)En suivant l’étude [89] et interprétant la courbure du graviphoton comme une constanteF (ph,+) = g s , l’éq(3.67) se réduit à∫d 4 xR 2 +F top (t) . (3.69)L’analyse de la section précédente montre que la partie instantonique de l’énergie libre dela théorie de corde doit être nécessairement sous la forme [89] :F (t i ) =∑∞∑∞∑n g ββ∈H 2 (M) g=0 d=1Q dβd[d] 2−2g avec [d] = e d 2 − e − d 2 , et Q = e −t . (3.70)dont les nombres n g β, qui caractérisent l’amplitude de manière élégante, ne sont autres queles invariants Gopakumar-Vafa.Ces invariants ont un lien avec les invariants de Gromov-Witten ; ce sont des combinaisonslinéaires des invariants Gromov-Witten. Par comparaison aux éqs (3.58) et (3.70), nousvoyons que les contributions des instantons F g , encodées dans les invariants de Gromov-Witten N g β , sont déterminées par les invariants Gopakumar-Vafa nk β pour des genres g ≥ k.A titre d’exemple, l’usage du développement de l’éq(3.70), nous obtenons les contributionsdes instantons de genre g = 0 de l’énergie libre de l’éq(3.54) :F 0 =∑∞∑β∈H 2 (M) d=165n 0 Q dββ(3.71)d 3