Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

4.3 Version raffinée de la fonction perpendiculaireà un seul paramètre q. Dans cette section, on va suivre la même démarche de calcul afinde déterminer la fonction de partition raffinée en termes d’autres paramètres (q, t), ce quiva motiver l’introduction des invariants Gopakumar-Vafa [55].4.3.1 Fonction de partition avec un nombre infini de paramètresL’analyse effectuée dans ce qui suit, concerne le calcul de la fonction de partition entenant compte d’un nombre infini de paramètres. En liaison avec ce qui est introduit auparavant,l’entier ”a” est utilisé pour décrire la position de chaque tranche sur le diagrammede Young. Pour toute partition 2D, nous pouvons répartir les coins de la représentationd’une partition correspondante en deux groupes : coin intérieur et extérieur.Nous présentons les coins intérieur et extérieur par leurs coordonnées u i et v i respectivement.Leur projection sur la ligne réelle est représentée dans la Fig 3-6−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5Fig. 3-6 – Coins intérieur et extérieurM∑i=0v i = M−1 ∑i=0u i M = # de coins exérieur (3.32)Il est commode de présenter un autre ensemble de paramètres { x ± m|m ∈ Z + 1 2}et lesidentifier sous la forme q a :x + m+1x +m= q m+12m > v M or u i − 1 > m > v i ,x + x − u i − 1 u 2 i + 1 2x − x + v i + 1 v 2 i − 1 2= q −1u i,= q vi ,(3.33)x − mx − m= q m+12m < v 1 or v i+1 − 1 > m > u i .116