Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

5.2 Formalisme du Vertex topologique II : (Calcul des amplitudes)où l’entier n i est défini comme suit :n i = |v k ′ ∧ v k |avec |v k ′ ∧ v k | est égal à v k ′ ∧ v k si les deux vecteurs v k ′ et v k sont des lignes entranteset −v k ′ ∧ v k dans le cas contraire . Ce facteur reflète le fait que le framing sur l’ième axedevrait être le même sur les deux côtés de collage. Le facteur (−1) (n i+1) l (R i) dans (3.9) estle signe associé au framing.v) Notons que les pattes du graphe sont des lignes droites dans le plan. Nous associons unparamètre de Kahler t i =x i .x i √p 2 +t 2 pour la i-ème axe dans la direction (p i, q i ) de longueurvi) Pour une patte non-compacte du graphe, la représentation correspondante est nécessairementtriviale R = 0 (notée aussi R = •).Naturellement, le vertex peut être utilisé pour calculer les amplitudes de la corde ouvertesur les variétés de Calabi-Yau toriques aussi bien pour les cordes fermées. Lorsque on placeles D-branes sur les axes non-compacts du graphe, nous modifions simplement la (vi)èmerègle, en sommant sur toutes les représentations arbitraires R. Cette règle est représentéepar l’introduction de T r R V où V est la matrice d’holonomie sur la D-brane. Supposonsque la D-brane est sur l’i-ème axe de diagramme torique, l’amplitude correspondante peutêtre obtenue en modifiant la (v)ème règle de collage :v′) Pour le cas d’une seule D-brane sur l’i-ème axe qui connecte les deux vertex U a et U b ,l’amplitude est donnée en sommant sur toutes les représentations gauche et droite Q L i , Q R idéfinies sur les deux cotés du D-brane par :∑R i Q L i ,QR iC Rj ,R k ,R i ⊗Q L i (−1)s(i) q f(i) e −L(i) C R ti ⊗Q R i ,R′ j,R′ kT r Q LiV i T r Q RiV −1i (3.10)avec L(i), f(i) et s(i) sont respectivement la longueur, le framing et les signes des facteurssur cet axe :L(i) = l(R i )t i + l(Q L i )r i + l(Q R i )(t i − r i )f (i) = p i k Ri ⊗Q L/2 + (n + p i) ki R ti ⊗Q R/2is (i) = l (R i ) + p i l ( )R i ⊗ Q L i + (n + pi ) l ( Ri t ⊗ Q R i).(3.11)Par la suite, nous allons formaliser ce que nous avons évoqué dans des exemples intéressants.Ces applications vont nous permettre de donner une démonstration rigoureuse des règlesde collage.162