Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Modèle Cristallin du Vertexl’opérateur de projection 1 d t ≤N(∏ L )Z cube = 〈0| Γ +(q ) (∏ M n− 12 1 d t ≤N Γ −(q − (m− 1 2) )) |0〉 . (3.56)n=1Cette fonction génératrice est égale au produit du la fonction de partition de la cordefermée en utilisant le formalisme de vertex topologique par la fonction de MacMahonm=1Z cube = M (q) Z C .De manière simple, l’évaluation de la fonction de partition est non triviale, puisque la formedu projecteur est plus compliquée. Or, c’est exactement le type de fonctions génératricesdes partitions planes que l’on peut obtenir à partir des outils combinatoires démontréspar MacMahon [92]. Ainsi, en utilisant ce résultat, on obtient finalement l’expression desfonctions de partition :Z cube = Z 1 Z 2 =∏ 1 − q N+i+j−11 − q h(i,j)(i,j)∈M Loù M L désigne la partition 2d avec L lignes et h(i, j) est la longueur d’équerre avec leséléments (i, j) (voir l’annexe). Il est important de souligner que le résultat de l’équation(3.47) se réduit en fonction de MacMahon standard à la limite M, N, L → ∞.Le modèle cristallin dans un cube est très prometteur pour étudier autres modèles pluscompliqués. Nous avons jugé utile que le collage de tels cubes correspond à la constructiondes modèles cristallins plus complexes liés aux espaces de CY toriques. Ces modèlesauraient deux caractéristiques : le paramètre g s lié à la taille d’une boîte élémentaire, etles paramètres de Kahler des variétés de CY donnés par q M , q N , et q L . L’étude du cristalCY reste encore un problème ouvert. Il s’agit, dans ce cas, d’un nouveau terrain encore àexplorer.4.5 Invariants topologiques dans le modèle cristallinLa question qui se pose : comment peut-on concilier les invariants des noeuds et entrelacssous le modèle cristallin du conifold. En fait, pour dévoiler les invariants dans lemodèle cristallin, il faut insérer des branes qui correspondent aux invariants de la théoriede Chern-Simons. Dans cette section, nous allons présenter une étude directe des invariantsde la théorie de Chern-Simons dans le modèle cristallin.123