Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Fonctions de Schur et MacMahonFig. 3-1 – Diagramme de Young à 2 dimensionsIl est constitué d’un ensemble de cases justifiées à gauche et en bas et le nombre de cases dechaque ligne correspond aux éléments de la partition associée. Etant donné un diagrammede Young λ et une case s = (i, j) de celui-ci, on définit alors les quantités suivantes :n(λ) = ∑ i≥1(i − 1) λ iAutrement dit, c’est la somme obtenue :n(λ) = ∑ i≥1(λ′i2si on introduit des 0 dans la première ligne du diagramme de Young associé à λ et des 1dans la seconde ligne, et ainsi de suite. De même pour le partage conjugué, on a :)n(λ ′ ) = ∑ s∈λ ′ l ′ (s) = ∑ s∈λ,a ′ (s)Par la suite, on donne quelques définitions, associées au diagramme de Young.On définit le nombre de cases de λ droite d’une case s qui est appelé le bras de s, notéa(s) tandis que le nombre de cases à sa gauche est appelé co-bras de s et il est noté a′(s).Le nombre de cases de λ au dessus d’une case s est appelé la jambe de s et il est notél(s) pour le cas du nombre de cases au dessous de s est appelé co-jambe de s et il est notél′(s). La longueur de bras a(s), la co-longueur de bras a′(s), la longueur de jambe l(s) etla co-longueur de jambe l′(s) sont données par les formules suivantes :a(s) = λ i − j, l(s) = λ j − ia′(s) = j − 1, l′(s) = i − 1Elles sont représentées dans la figure (3-2)245