Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Théories de cordes topologiques, Invariants et D-branedes supercordes usuelles. La correspondance proposée par Gopakumar et vafa est l’un desexemples des dualités pour laquelle la théorie de Chern-Simons, avec un groupe de jaugeSU(N) formulée sur la sphère à trois dimensions S 3 , est équivalente dans la limite N largeà la théorie des cordes topologiques fermées de type A sur le conifold résolu. Ceci se traduitpar :Cordes topologiques fermées sur le conifold résolu ⇐⇒ Théorie de Chern-Simons sur S 3 .(3.46)La puissance de cette dualité réside dans le contexte de la théorie de Chern-Simons correspondanteà la théorie de jauge à 3 dimensions qui vit sur le volume d’univers de D-brane.En effet, une action peut être décrite entièrement en termes des formes différentielles :S CS = k ∫T r(A ∧ dA + 2 )4π3 A ∧ A ∧ A (3.47)Mavec A est une connection de jauge sur la variété M à trois dimensions et k est uneconstante de couplage. De plus, l’action ne dépend pas de la métrique et le résultat sera unethéorie topologique. Dans cette situation, la fonction de partition représente un invarianttopologique de la variété M∫Z (M) =[DA] e iS . (3.48)La classe des observables de cette théorie est donnée par la valeur moyenne des boucles deWilson :WR K =〈T r R P e R 〉 ∫K A =DAe iSCS T r R P e R K A . (3.49)D’autre part, la comparaison entre les amplitudes des deux théories de Chern-Simons et lathéorie de corde fermée est possible grâce à l’existence d’un lien entre les paramètres desthéories de jauge et de cordesλ =2πk + N ,t = 2πiNk + N , (3.50)où λ est la constante de la corde topologique et t est le module de Kahler de la sphèreS 2 . Il est intéressant de voir qu’il existe un lien entre la constante de couplage de la cordetopologique et le couplage de ’t Hooftλ = g 2 CS t = iNg 2 CS. (3.51)La correspondance proposée par Gopakumar et vafa a permis d’identifier les amplitudesde Chern-Simons FgCSle conifold résolu,(t) et celles F conifoldgdes cordes topologiques fermées du type A surFgCS (t) = Fg conifold (t). (3.52)61