Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

5.2 Formalisme du Vertex topologique II : (Calcul des amplitudes)Dans ce cas, nous examinons le modèle A avec une pile des D-branes de Calabi-Yau X = C 3 .De la même manière, nous pouvons calculer la fonction de partition de ”pantalon” Calabi-Yau P (1,0) . Maintenant, pour 3 séries de représentations correspondent à trois piles deD-branes avec holonomies U i , i = 1, 2, 3. La fonction de partition est donnée par :Z top ( P (1,0)) = ∑ R1d q (R) qk R/4 T r R U 1 T r R U 2 T r R U 3 . (3.33)Il suffit de considérer les deux équations (3.30, 3.33) et recoller l’ensemble de Σ L et Σ R auniveau de leur bord commun pour former l’amplitude de Σ L∪R . La formule d’orthogonalitédes caractères :∫dU T r R1 U T r R2 U −1 = δ R1 R 2(3.34)permet de définir les cercles de bord des deux surfaces qui sont orientées dans des sensopposés. Elle est munie d’une opération d’inversion qui agit sur l’holonomie U → U −1 . Lafonction de partition de Σ L∪R est formellement définie par l’intégrale de chemin suivant :∫Z top (Σ L∪R ) = dU Z top (Σ L ) (U) Z top (Σ R ) ( U −1) . (3.35)On calcule cette fonction de partition à l’aide de la propriété suivante :Z top (Σ) (U) = ∑ RZ topR (Σ) T r RU (3.36)Le résultat sera sous la forme suivante :Z top (Σ L∪R ) = ∑ PZ topP(Σ L) Z topP (Σ R) . (3.37)Par exemple, on considère l’amplitude du modèle-A correspondant à la variété de Calabi-Yau dont la première classe de Chern est donnée par (2g − 2 + p, −p). L’espace totalcomporte une fibre sur une surface de Riemann. Une manière de réaliser une surface deRiemann fermée de genre g et (g − 1) poignées est de prendre (2g − 2) pantalons de typeP (1,0) avec l’insertion de p annuli de type A (−1,1) . Ce dernier est obtenu à partir du collageentre le pantalon P (1,0) et la casquette C (0,−1) . La fonction de partition est donnée par :Z top (Σ g ) = ∑ R( ) 2g−2 1q kR/2(p+g−1) e −t|R| . (3.38)d q (R)Notons que dans la limite N → ∞, d q (R) est la dimension quantique dim q (R) de lareprésentation de U(N). Dans la suite, nous allons considérer comme autre exemple, une170