Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

3.1 Théorie des cordes topologiquesque l’étude des représentations de ces superalgèbres était à la base du développement dela théorie des supercordes et des phénomènes critiques de la mécanique statistique à 2D.b) Modèle sigma non linéaireLe modèle sigma non linéaire avec la supersymétrique N = 2 vivant sur une surface deRiemann Σ g (surface d’univers) est une théorie supersymétrque de champs bidimensionnelle.Les champs de base dans cette théorie sont des champs scalaires complexes φ i (z, ¯z)qui peuvent être vus comme des applications de la surface Σ g vers une variété KahlerienneX de dimension n.φ i : Σ g → X ,(z, ¯z) → φ i (z, ¯z) .(3.4)Vu que la théorie est supersymétrique N = 2, il existe également des partenaires deschamps scalaires : ce sont des champs fermioniques ψ i ± et ψī± reliés au φ i par des transformationssupersymétriques.L’action du modèle sigma supersymétrique N = 2 décrivant le couplage de ces champss’écrit sous la formeS = 2t ∫ Σ d2 zg iī(∂z φ i ∂¯z φī + ∂¯z φ i ∂ z φī)+2t ∫ Σ d2 ziψī −D z ψ i −gīi + iψī +D¯z ψ i +gīi + R iīj¯jψ i +ψī +ψ j −ψ¯j− ,(3.5)où t est la constante de couplage qui jouera un rôle important en théorie de corde topologique.Le champg i¯j = ∂ i ∂ j K(φ, ¯φ) (3.6)est la métrique de Kahler alors que le tenseur R iīj¯j est le tenseur de courbure construit àpartir de la connectionΓ i jk = g i¯k∂ j g k¯k. (3.7)La dérivée covariante intervenant dans l’eq(3.5) est définie comme :D¯z ψ i + = ∂ ∂¯z ψi + + ∂φj∂¯z Γi jkψ k +, (3.8)où les fermions ψ i ± et ψī± sont des sections des fibrés()()ψ i + ∈ Γψ i − ∈ ΓK 1 2 ⊗ φ ∗ (T 1,0 X)( )1 ¯K 2 ⊗ φ ∗ (T 1,0 X)où K, ¯K sont les fibrés canoniques et anticanonique de Σ., ψī+ ∈ Γ K 1 2 ⊗ φ ∗ (T 0,1 X)( )1, ψī− ∈ Γ ¯K 2 ⊗ φ ∗ (T 0,1 X) .(3.9)L’action S du modèle sigma non linéaire N = 2 ci-dessus est invariante sous les transformationssupersymétriquesδ = ɛ + Q − − ɛ − Q + − ¯ɛ + ¯Q− + ¯ɛ − ¯Q+ , (3.10)50