Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

2.2 Conifoldavec (y 1 , y 2 ) ≠ (0, 0), (z 1 , z 2 ) ≠ (0, 0) et l’identification(x, y 1 , y 2 , z 1 , z 2 ) ∼ (λ −1 µ −1 x, y 1 , y 2 , µz 1 , µz 2 ).L’espace total donné par O(−2, −2) → CP 1 ×CP 1 ; est paramétrisé par quatre directionscompactes et deux directions non-compactes dont le fibré normal est isomorphe àO(−2, −2).2.2 ConifoldUne autre classe des exemples concernant les variétés de Calabi-Yau est étalée dans[108, 111] dont les grandes lignes sont présentées comme suit. Nous présentons dans unpremier temps le conifold singulier et ses déformations de Kahler et complexe. Ensuite, nousconsidérons la transition géométrique qui permet de relier les deux versions du conifold.2.2.1 Conifold singulierLe conifold singulier est une variété algébrique définie par la relation suivante [111],z1 2 + z2 2 + z3 2 + z4 2 = 0. (2.18)C’est donc une hypersurface de l’espace complexe de C 4 ∼ R 8 . En décomposant z en partieréelle et partie imaginaire z i = x i + iy i , l’équation ci-dessus se scinde comme suit :∑ 4k=1 (x2 k − y2 k ) = 0 ,2i ∑ 4k=1 x ky k = 0 .(2.19)Pour déterminer la base du conifold, nous considérons l’intersection entre l’équation (2.18)et la sphère réelle S 7 de dimension 7 et de rayon r contenue dans l’espace réelle R 8 ,|z 1 | 2 + |z 2 | 2 + |z 3 | 2 + |z 4 | 2 = r 2 . (2.20)qui s’écrit également sous la forme :∑ 4k=1 (x2 k + y2 k ) = r2 , avec z i = x i + iy i (2.21)les équations de l’intersection peuvent être exprimées comme suit :⃗x 2 = r2 2et ⃗y 2 = r2 ,2⃗x.⃗y = 0. (2.22)30