Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

2.1 Généralités sur les variétés de CYLa caractéristique d’Euler χ(M) est assez facile à calculer si on exprime ce nombre pourles polyèdres selon la formule :χ(M) = V − E + F.Les nombres V , E et F sont respectivement le nombre de sommets (vertex), d’arêtes(”edges”) et de faces dans un polyèdre donné. Pour un cristal cubique avec huit sommets,douze arrêtes et six faces, la caractéristique d’Euler estχ(M) = V − E + F = 8 − 12 + 6 = 2Ce nombre peut être identifié avec la caractéristique d’Euler du cristal de Calabi-Yau [91].Nous terminons cette sous section par rappeler également les paramètres t i de Kähler quisont donnés par le volume des 2- cycles S i de la variété M :t i = ∫ S iK , i = 1, · · · b 2 (M) ,Les S i définissent une base du groupe d’homologie H 2 (M, Z) des 2-cycles réelles de M.2.1.2 Variétés de Calabi-YauLes variétés de Calabi-Yau sont particulièrement utilisées en théorie des supercordes[97]. Elles préservent une partie des charges supersymétriques de la théorie originale à10 dimensions compactifiées vers des dimensions d’espaces temps inférieures. Initialementintroduite par le mathématicien E. Calabi qui a conjecturé en 1957 que ces variétés admettentnécessairement une métrique avec un tenseur de Ricci nul. Cette conjecture futdémontrée par S.Yau en 1977 [98]. Dès lors, la définition précise de ces variétés est devenuetrès technique dont les lignes de base sont comme suit :Les variétés de Calabi-Yau M de dimension n sont des espaces complexes, Kahlériens,compacts ayant un tenseur de Ricci nul R i¯j = 0.Cette condition de courbure de Ricci nulle est équivalente aux équations suivantes :i) Le groupe d’holonomie de M est SU(n).ii) La première classe de Chern c 1 est nulle ; c 1 (T M) = 0.Les variétés de Calabi-Yau admettent de types de déformations : déformations de KahlerK et déformation de la structure complexe Ω (n,0) . Les déformations de la structureKahlerienne d’une variété de Calabi-Yau M de dimension n sont associées au groupe d’homologieH (1,1) de dimension h (1,1) qui classifie les formes avec un indice holomorphique et26