Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Amplitudes des cordes topologiquessurface de Riemann de genre g mais avec h trous. Cela correspond à l’insertion de hpantalons. On Choisit (h − r) de type P (1,0)et r de type P (0,1) . Nous obtenons unenouvelle réalisation de Calabi-Yau et la condition de CY est satisfaite quand((deg (L 1 ) , deg (L 2 )) = 2g − 2 + h + p ′ , −p ′) , (3.39)avec p′ = p − r. L’amplitude de la corde topologique sera de la forme suivante :Z top (Σ g,h ) = ∑ R( ) 2g−2 1q k R/4(deg(L 1 )−deg(L 2 )) e −t|R| T r R U 1 · · · T r R U h . (3.40)d q (R)Alors que, l’amplitude associée à une surface de Riemann de genre g et h trous en présencedes D-branes dans la fibre est exprimée sous cette forme :Z top (Σ g,h ) = ∑ RW RR1 · · · W RRhq k R/4(deg(L 1 )−deg(L 2 )) T rW 2g−2+hR V 1 · · · T r Rh V h . (3.41)R0Nous avons utilisé le fait que W R0 = d R q k R/4 . Cette étude a ouvert de nouveaux perspectivespour une compréhension plus profonde des invariants de la théorie de Chern-Simon et leformalisme de vertex topologique.5.3 Vertex Topologique et Théorie de Chern-SimonsLa correspondance clé entre la théorie de Chern-Simons et la théorie de corde topologiqueest considérée comme un des exemples importants [155, 156, 157, 158]. Du pointde vue mathématique, son application a permis de donner une description rigoureusepour les invariants de Gromov-Witten [64],[128], des noeuds et des invariants d’entrelacs[125, 126, 159]. D’autre part, l’une des applications à la physique les plus intéressantes oùcette correspondance est réalisée concrètement a été possible grâce au formalisme du vertextopologique qui a permis d’obtenir une solution complète de la théorie de corde topologiquesur la variété de Calabi-Yau. Dans cette section, nous démontrons des résultats analoguesà ceux qui précèdent, mais dans le contexte de la théorie de Chern-Simons, dans laquelleon dérive le vertex trivalent en termes des observables de la théorie de Chern-Simons.5.3.1 Ingrédients de Chern-SimonsDans le but de trouver les amplitudes et extraire la formule explicite de vertex, nousaurons besoin tout d’abord de définir certains invariants de Chern-Simons des entrelacs de171