Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Vertex topologique raffinéraffinée [159] :¯P ( λµ (Q 1 , Q 2 , a) = (−1) |λ|+|µ| qt[ ∑=ν) |λ|+|λ||µ|fλ (q, t)(Q −1 ( qt) )1|ν|+|µ|22Ẑ λµ (q, t, Q) (3.39)(−Q) |ν| (t) ‖ν‖22(q) ‖ ν t ‖ 22 ˜Zν (q, t) ˜Z ν t(q, t)s λ(t −ρ q −νt) s µ(t −ρ q −νt)]( √ ) q |λ|+|µ|[Z ∅∅ (q, t, Q)] −1 Q −1 2 ( q) |λ||µ|× (−1) |λ|+|µ| .ttC’est l’un des principaux résultats dans l’étude du vertex topologique raffiné. La relationentre la théorie des noeuds paramétrisée par (Q 1 , Q 2 , a) et le vertex avec les paramètres(q, t, Q) est donnée par :√ q = Q1 (3.40)√t = −Q1 Q 2Q = −Q 2 a −2où a = Q N 1 . Dans le cas Q 2 = −1 et q = t, on obtient le vertex topologique usuel.6.4.1 UnknotOn calcule le polynôme de Poincaré (3.34) d’homologie des représentations (λ, µ) =(□, ∅), qui est exactement le super-polynôme unknot suivant :P □,∅ (Q 1 , Q 2 , a) = -a= -a(= aPν (−Q)|ν| t ‖ν‖22∞Q “1−Qq i− 1 2 t j− 1 2(i,j=1 √t √− Q √t t1−t q 1−t1Q 1 −Q −11−”q ‖ ν t ‖ 22 ˜Zν (q, t) ˜Z ν t(q, t)s □(t −ρ q −νt ))a−2Q 1 −Q −11)= a−a−1Q 1 −Q −11avec a = Q N 1 .,,(3.41)La fonction de partition dénouée (unknot) dépend de deux paramètres Q 1 et Q 2 .223