Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

5.1 Raffinement du vertex topologiqueLa fonction génératrice des partitions 3D est une généralisation de la fonction de MacMahondonnée par :M (q, t) = ∑ πq P ∞i=1 |π(−i)| t P ∞j=1 |π(j−1)| =∞∏ (1 − q i−1 t j) −1.i,j=1L’introduction des paramètres q et t dans les tranches est représentée de la manière suivante.Si nous commençons par a > 0, le mouvement de la tranche est davantage orientévers la gauche en passant par l’origine. En fait, chaque fois que nous déplaçons la tranchevers la gauche, il faut compter avec le paramètre t. Or si la tranche se déplace vers le haut(qui se produit quand nous allons de a = i à a = i − 1, i = 0, 1, 2), nous comptons avec leparamètre q. Après avoir pris en considération le framing, le vertex raffiné est donné par[91] :C λµν (t, q) = G λµν(t,q)avecM(t,q)= ( ) ‖µ‖ 2 +‖ν‖ 2q 2t k(µ)2 Ptν t (t −ρ ; q, t) ∑ ηG λµν (t, q) =( qt∑η) ‖µ‖ 2 +‖ν‖ 22t k(µ)( qt) |η|+|λ|−|µ|2s λ t /η (t −ρ q −ν ) s µ/η(t−ν t q −ρ) .(3.1)2 M (t, q) P ν t (t −ρ ; q, t) ×( q) |η|+|λ|−|µ|(2st λ t /η (t −ρ q −ν ) s µ/η t−ν t q−ρ) (3.2)et P ν t (t −ρ ; q, t) est la fonction de Macdonald donnée par l’expression suivante [175] :P ν t (t −ρ ; q, t) = (t) ‖ν‖22 ˜Zν (t, q)∏ (= 1 − t a(i,j)+1 q l(i,j)) −1, avec a (i, j) = νtj − i, l (i, j) = ν i − j.(i,j)∈ν(3.3)6.1.1 Vertex raffiné et fonction de partition de la corde ouverteLe vertex raffiné a également une interprétation en termes des amplitudes topologiquesdes cordes ouvertes généralisées en présence des piles des A-branes. En fait, les résultatsde [176] suggèrent que raffinement des amplitudes de la théorie des cordes ouvertes sontliées aux invariants de noeud de Khovanov.En utilisant le formalisme du vertex raffiné, la fonction de partition de la corde ouvertedépend de l’arête sur laquelle la pile des branes est mise. Cela est du à l’absence des212