Contributions Ã l'Etude du Vertex Topologique en ThÃ©orie ... - Toubkal

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Vertex topologique raffinérésolu et leurs relations avec les invariants polynomials d’entrelacs de Hopf. Le point dedépart sera le vertex topologique raffin ayant l’expression suivante :C λµν (t, q) = ( ) ‖µ‖ 2 −|µ|q 2t k(µ)2 (t) ‖ν‖22 ˜Zν (q, t) ∑ tη( qt) |η|+|λ|−|µ|2s λ t /η (t −ρ q −ν ) s µ/η(t−ν t q −ρ)(3.27)L’expression de la fonction de partition raffinée en utilisant la figure (3-8), est donnée sousla forme suivante :Z λµ (q, t, Q) = ∑ ν(−Q) |ν| C ∅µν (q, t) C λ∅ν t (q, t) . (3.28)avecC ∅µν (q, t) = ( ) ‖µ‖ 2q 2t k(µ)2 (t) ‖ν‖2 ( )2 ˜Zν (q, t)stµ t −ρ q −νtC λ∅ν t (q, t) = ( ) |λ|q 2(q) ‖ ν t ‖ 2( )2 ˜Zν t(q, t)stλ t t −ρ q −νt(3.29)En utilisant les deux expressions de l’éq(3.29) , la fonction de partition en termes desfonctions de Schur s’écrit de la manière suivante :Z λµ (q, t, Q) = h λµ (q, t) ∑ ν(−Q) |ν| (q) ‖ ν t ‖ 22(t) ‖ν‖22 ˜Zν (q, t) ˜Z ν t(q, t)s λ t(t −ρ q −νt )sµ(t −ρ q −νt )h λµ (q, t) = ( ) ‖µ‖ 2 −|λ|q 2t k(µ)2tLa fonction de partition normalisée est donnée par la formule suivante :(3.30)Ẑ λµ (q, t, Q) = Z λµ(q,t,Q)Z ∅∅ (q,t,Q)(3.31)avecZ ∅∅ (q, t, Q) = ∑ (−Q) |ν| (q) ‖ ν t ‖ 22(t) ‖ν‖22 ˜Zν (q, t) ˜Z ν t(q, t)ν∏= ∞ () (3.32)1 − Qq i− 1 2 t j− 1 2i,j=1Nous évoquons par la suite les invariants d’entrelacs de Hopf et nous présentons la relationavec la fonction de partition de corde ouverte en utilisant le vertex topologique raffiné.En donnant un entrelacs coloré par une collection de représentations R 1 · · · , R l de sl(N),l’invariant polynomial correspondant est donné par :¯P sl(N)R 1···R k(q) (3.33)221
5.4 Vertex raffiné et homologie des entrelacsPour chaque R a , a = 1, · · · , l qui est la représentation fondamentale de sl(N), nous avonsl’expression suivante 1¯PN (q) =sl(N) ¯P□···□(q) (3.34)Les invariants polynomials (3.34) sont liés aux valeurs moyennes des opérateurs de bouclede Wilson W (L) = W R1 ,···R l(L) dans la théorie de Chern-Simons. Par exemple, l’invariantsl(N) polynômial P N (q) est associé avec les valeurs moyennes de boucle de Wilson W (L) =W □···□ (L),¯P N (L) = q −2Nlk(L) 〈W (L)〉 (3.35)où lk(L) = ∑ a
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Bibliographie[1] J. Polchinski, Str
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BIBLIOGRAPHIE[87] Yukiko Konishi, I
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BIBLIOGRAPHIE[119] D. A. Cox, The H
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