Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Fonctions de Schuroù c λ µν est le nombre de tableaux gauche semi-standard de type λ − µ qui exprime ladécomposition du produit de deux fonctions de Schur :s µ s ν = ∑ λc λ µνs λPar exemple, prenons λ = (5, 4, 3), µ = (3, 1), ν = (4, 3, 1), alors c λ µν = 2. En effet, enchoisissant un tableau de Young T , il y a deux tableaux de forme λ/µ indiqués dans cettefigure.T =52 6 7λ/µ :5 6 72 3 45 6 72 3 81 3 4 81 81 4En fonction des variables (x 1 , . . . , x n ), la fonction de Schur est exprimée comme :s λ/µ (x 1 , . . . , x n ) =plus particulièrement,∑λ≻λ(1)≻···≻λ(n−1)≻µx |λ|−|λ(1)|1 x |λ(1)|−|λ(2)|2 . . . x |λ(n−1)|−|µ|n⎧⎨x |λ|−|µ|1 , µ < λ ,s λ/µ (x 1 , 0, . . . ) =⎩0 , µ ⊀ λ .La proposition précédente peut donc être réécrite comme suit :s λ/µ (x 1 , . . . , x n ) = ∑ λ≻λ(1)≻···≻λ(n−1)≻µ s λ/λ(1)(x 1 )s λ(1)/λ(2) (x 2 ) . . . s λ(n−1)/µ (x n )Alors, la fonction de Schur est le caractère de la représentation irréductible de GL(n).8.2.1 Propriétés de la fonction de SchurConcluons cette section en donnant quelques propriétés de la fonction de Schur, quiseront très utiles pour la suite :s λ (cx) = c |λ| s λ (x)s λ/µ (cx) = c |λ|−|µ| s λ/µ (x)s λ (q −ρ ) = q − k λ2 s λ t(q −ρ )Dans le cas de fonctions de Schur-gauche, elles vérifient les conditions suivantes :s λ/µ (cx) = c |λ|−|µ| s λ/µ (x)s λ/µ (q ρ ) = (−1) |λ|−|µ| s λ t /µ(q −ρ )258