Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Fonctions de Schur et MacMahonFig. 3-10 – Partition plane 3DLa mise des cubes sur les cases (i, j) dans le diagramme de gauche λ/µ, donne unepartition gauche à 3 dimensions. Les composantes de π sont des parts π (x) et le nombrede cubes est donné par :|π| = ∑ π (x)x∈λIl est appelé le poids d’une partition plane π. En effet, dans le plan, on peut représenterune partition plane par un diagramme de Young où chaque case est munie d’un entierreprésentant le nombre de cubes correspondants dans l’axe vertical, c’est-à-dire qu’on aun tableau constitué d’un diagramme de Young rempli d’entiers de manière décroissante(mais pas nécessairement strictement) sur les lignes et les colonnes. Toute partition planese décompose en tranches diagonales, notées π (m) où m ∈ Z, qui satisfont aux conditionssuivantes :· · · π(−2) < π(−1) < π(0) > π(1) > π(2) > · · · ,et plus précisément la relation d’entrelace entre deux partitions λ et µ à 2dimensions esttelle queµ > λ ⇔ µ 1 ≥ λ 1 ≥ µ 2 ≥ λ 2 ≥ µ 3 ≥ · · ·Chaque tranche diagonale d’une partition plane π est une partition linéaire π (m) à (2dimensions). Par exemple la diagonale principale de π est une partition π (0) = (π 11 , π 22 · · · ).8.1.6 Partitions strictes et diagramme de Young shiftéUne partition stricte λ est une suite d’entiers strictement positifs non nuls dont lescomposantes de λ sont des parts strictement distincts [190]. Plus précisément, une partition253