Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

2.1 Généralités sur les variétés de CY2.1.1 Variétés complexesa) Généralités : Les variétés complexes M de dimension complexe n (dim C = n) sontavant tout des variétés de dimension réelle dim R = 2n où chaque point (x 1 , ..., x 2n ) peutêtre décrit par n coordonnées locales complexes (z 1 , . . . z n ) avec z k = x k + ix n+k . Sur cesvariétés complexes M, vivent entre autres, les objets suivants :i) Une structure presque complexe portée par un champ d’opérateur J vérifiant J 2 = −I d ;il définit une transformation linéaire globale dans l’espace tangent à M en tout point P :J : T p M → T p M ∀ P ∈ M.ii) Une métrique hérmitienne G satisfait la condition :G(X, Y ) = G(JX, JY ),où X, Y sont des champs de vecteurs sur M. En coordonnées complexes (z 1 , . . . z n ), lamétrique G peut être réalisée comme suit :G = G j¯k dz j ∧ d¯z¯k.(2.1)Nous allons nous intéresser surtout aux variétés complexes compactes dont les plus étudiéesdans la littérature sont les variétés algébriques projectives X . Ces variétés sont des sousvariétés de l’espace projectif complexe à n dimensions X ⊂ CP n avec :CP n = {droites vectorielles de C n }= { C n+1 \ {0} /C ∗} . (2.2)A titre d’exemple, signalons que les courbes complexes compactes, qui ne sont autres queles surfaces réelles de Riemann, sont des sous variétés compactes à une dimension complexequi se réalisent comme des hypercourbes dans CP 2 .b) Variétés Kahlériennes : Une variété Kahlérienne K ou variété de Kahler tout courtest la donnée d’une structure presque complexe J sur une variété différentielle M et d’unemétrique hermitienne G. La 2- forme antisymétrique K associée à K définie par :K(X, Y ) = G(X, JY ), (2.3)vérifie la condition de fermeture suivante :dK = 0. (2.4)La forme de Kahler K, qui s’écrit en coordonnées réelles comme K = 1J 2 [µν]dx µ ∧ dx ν avecµ, ν = 1, · · · , 2n, peut être exprimée en coordonnées complexes comme :K = i 2 G j¯kdz j ∧ d¯z, j, k = 1, · · · , n, (2.5)24