Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Modèle Cristallin du VertexEn comparant ces formules avec les relations d’entrelacement dans l’éq.(3.9), nous remarquonsque Γ ± décrit l’évolution des partitions. Plus précisément, l’évolution négative à unmoment x ≤ −1 est donnée par Γ + tandis que l’évolution à un moment positif x ≥ 0 estnotée par Γ − . La fonction de MacMahon, nommée aussi la fonction génératrice de nombrede partition plane Z 3D (q) := Z ∅∅∅ (q), sera reproduite en utilisant la notion de matrice detransfert(∏ ∞)Z cristal (q) = Z ∅∅∅ (q) = 〈∅| q L 0Γ + (1)avec l’opérateur q L 0t=0q L 0( −1 ∏t=−∞Γ − (1) q L 0)|∅〉 (3.16)qui déplace la tranche diagonale par une unité. Le mode zéro deVirasoro L 0 est l’hamiltonien qui compte le nombre de boîtes |µ| dans le diagramme deYoung µL 0 |ν >= |ν||ν > q L 0|ν >= q |ν| |ν > . (3.17)Nous allons décrire en détail l’analyse intuitive pour comprendre la forme de la fonctionde partition en termes des opérateurs de création et d’annihilation :Tout d’abord, on commence par l’état de vide qui décrit une tranche ou une partition 2dà la position a = −∞.Lorsqu’on agit sur cet état par l’opérateur de création, on obtient une somme sur toutesles partitions possibles. En passant de a = −∞ à 0 en faisant agir l’opérateur de créationΓ − sur cette somme de façon à ce qu’il entrelace ces partitions dans la tranche précédente.Ainsi de suite jusqu’à ce qu’on atteigne la tranche principale a = 0.On procède de la même manière pour la tranche principale. Lorsqu’on agit sur cet étatavec l’opérateur d’annihilation Γ + , on détruit les partitions précédemment créées dans latranche ”a” et qui sont entrelacées sur la tranche précédente a − 1 avec a est positive.Cette analyse, avec les opérateurs q L 0, donne la somme sur toutes les partitions 3D q |π| quisatisfont à la condition d’entrelacs. Notons qu’on définit l’état du vide comme l’état quiest annulé par l’opérateur Γ + . Alors, nous pouvons déplacer l’opérateur d’annihilation surla droite et utiliser les relations de commutation entre les deux opérateurs Γ ± éq(3.15). Lafonction génératrice des partitions 3D est la fonction de MacMahon à 3 dimensionsZ 3D (q) = M(q) := ∏ n=1(1 − q n ) −n (3.18)Nous remarquons que cette expression est égale à la fonction de partition du modèle Afermé sur C 3Z C3top = M (q) = ∑ πq |π| avec q = e −gs . (3.19)111