Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Théories de cordes topologiques, Invariants et D-braneinvariants de Gromov-Witten, ceux de Gopakumar-Vafa [9, 52] et les invariants des noeuds.Nous avons :corde fermée : Gromov-Witten Gopakumar-Vafa/ Donaldson-Thomascorde ouverte : Gromov-Witten ouverte invariants Ooguri-VafaDans la première sous section , nous étudions les invariants de Gromov-Witten, ensuitenous considérons les invariants de Gopakumar-Vafa et nous terminons par les invariantsde noeuds.3.3.1 Invariants de Gromov-WittenConnus comme une classe d’invariants, les invariants de Gromov -Witten comptentle nombre de courbes de genre g dans une variété compacte symplectique ou projective.D’une manière générale, pour une famille de variétés de Calabi-Yau X de dimension 3,il est possible de déterminer les invariants de Gromov-Witten en calculant la fonctionde partition de la corde topologique du modèle A. L’une des méthodes appliquée pourcalculer les invariants de Gromov Witten consiste à considérer l’énergie libre F top de lathéorie de corde de type A qui encode les invariants énumératifs des applications φ stablesholomorphes des surfaces de Riemann Σ g de genre g vers X :φ : Σ g → X avec φ (Σ g ) = [β] ∈ H 2 (X, Z) , (3.57)où β sont des classes d’homologie. La structure de l’énergie libre F top= F (t, X) où leprépotentiel de Gromov-Witten dépend du paramètre de Kahler t = (t 1 , · · · t h 1,1) , de laforme de Kahler K et de la constante de couplage g s et elle peut se mettre sous la forme :F (t, X) = ∞ ∑g≥0g 2g−2s F g (t) avec F g (t) =∑[β]∈H 2 (X,Z)N g β e(K.β) , (3.58)avec(K.β) = (n 1 t 1 , · · · n h 1,1t h 1,1) (3.59)et où N g βsont les invariants de Gromov-Witten de genre g qui correspondent à la classe β.On peut aussi écrire l’amplitude de la corde topologique de type A en terme de la fonctionde MacMahon :Z top = e F top= e P F g gs2g−263= M(q) χ(M)2 e F class+F(3.60)