Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

3.3 Invariants topologiquesDans le cas d’un seul invariant n 0 1 = 1 où l’indice β est identifié à une sphère S 2 , le termeinstantonique dans l’énergie libre du conifold résolu est donné par [60, 89] :−Q nF conifold = ∑ n [n] 2 = − ∑ n≥1g≥0g 2−2gs|B 2g |2g (2g − 2)! Li 3−2g (Q) (3.72)Q nn kavec Li k (Q) = ∑ et Q = e −t , t est la taille de P 1 . De plus, le termen≥1identifié aux invariants de Gromov-Witten comme suit :|B 2g |2g(2g−2)!est|B 2g |2g (2g − 2)! × ( −n 2g−3) = N g n (3.73)Notons que toutes les informations nécessaires codées dans un nombre infini d’invariantsde Gromov-Witten du conifold résolu sont maintenant représentées par l’invariant deGopakumar-Vafa n 0 1.3.3.3 Boucle de Wilson, invariants de noeuds et d’entrelacsEnsemble avec les deux types d’invariants considérés ci-dessus, il existe d’autres invariantstopologiques ayant des interprétations physiques et mathématiques. Witten a montréque certains invariants peuvent être obtenus à partir de la théorie quantique des champspar l’intégral de Feynman. Ces invariants sont exprimés comme la fonction de partitionde système quantique [134]. L’exemple standard est donné par la théorie de Chern-Simonsoù l’interaction entre les particules est décrite par des opérateurs de Wilson. La valeurmoyenne dans le vide qui décrit la propagation le long du chemin C, donne l’invariant dejauge suivant :∮W R (C) = T r(P exp A), (3.74)Coù R est une représentation du groupe de jauge. Un autre aspect de ces observables estqu’elles fournissent des invariants de noeuds et de liens. Ces derniers sont des objets mathématiquesinsensibles à la déformation de métrique. Et pour les illustrer, il est intéressentd’utiliser la dualité de Gopakumer-Vafa (GV). On commence par considérer la théoriede Chern-Simons sur S 3 avec une boucle de Wilson W R (Γ) le long d’un noeud Γ qui estreprésenté par [126]q(s) ∈ S 3 (0 ≤ s ≤ 2π) , (3.75)Selon la dualité entre la théorie de Chern-Simons sur S 3 et la corde topologique sur T ∗ S 3éq(3.55), la configuration correspondante W R (Γ) en théorie de corde ouverte sur T ∗ S 3 est66