Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Vertex topologique raffinépropriétés de symétrie cyclique dans le vertex raffiné. En effet, nous avons trois choix(3.4)correspondants aux trois arêtes de C 3 . Les résultats sont les suivants :I : C λ∅∅ (t, q) = ( ) |λ|q 2st λ t (t −ρ ) ,II : C ∅µ∅ (t, q) = ( )‖ µt ‖ 2 −|µ|q 2stµ t (q −ρ )III : C ∅∅ν (t, q) =‖ν‖ 2q 2Qs∈ν (1−t1+a(s) q l(s) ) .Dans le cas I : La fonction de partition de la corde ouverte est comme suit :Z (t, q, x) = ∑ C λ∅∅ (t −1 , q −1 ) s λ (x) = ∑ ( ) |λ|t 2sq λ t (t ρ ) s λ (x)λλ∏= ∞ ( √ ) ∏t1 + xq t−i+ 1 2 = ∞ ( )√ (3.5)1 − Qt −i+ 1 t2 , Q = −x . qi=1Dans le cas I : La fonction de partition de la corde ouverte est donnée par :i=1Z (t, q, x) = ∑ C ∅µ∅ (t −1 , q −1 ) s µ (x) = ∑µµ∏= ∞ ( )∏1 + xq −i+ 1 2 = ∞i=1i=1(tq)‖µ t ‖−|µ|2(1 − Qq −i+ 1 2s µ t (q ρ ) s µ (x)), Q = −x.(3.6)Dans les deux résultats ci-dessus, la fonction de partition est celle obtenue à partir duvertex ordinaire sauf qu’ici elle dépend de t ou q selon l’arête sur laquelle la brane est finie.Un cas intéressant est celui du troisième exemple dans lequel la brane finit sur l’axe préféré.Dans ce cas, l’amplitude de la corde ouverte en utilisant le vertex raffiné est donnée par :Z (t, q, V ) = ∑ λ= ∑ λC ∅∅ν (t −1 , q −1 ) T r ν VC ∅∅ν (t −1 , q −1 ) s ν (x)(3.7)où x = {x 1 , x 2 , · · · } et le vertex raffiné s’écrit sous la forme suivante :C ∅∅ν (t, q) =Q‖ν‖ 2q 2s∈ν ( 1−t 1+a(s) q l(s) )‖ νt ‖ 2C ∅∅ν (t −1 , q −1 ) = (−1)|ν| t 2 ( q) t |ν|/2Q( 1−t 1+a(s) q l(s) )s∈νPar conséquent, pour le cas x = {−Q, 0, 0, · · · } , le résultat est la suivante :Z (t, q, Q) = ∑ ∑C ∅∅ν (t −1 , q −1 ) s ν (x) = ∞ C ∅∅k (t −1 , q −1 ) (−Q) kνk=0∑= ∞ ( ) k ∏ kQ √ tk(1 − tq n−1 ) −1 .k=0n=1(3.8)(3.9)213