Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

2.3 Variétés de CY toriquessur L est nulle. Cette condition correspond à fixer les angles θ iθ i = constante . (2.42)Ainsi, la sous variété lagrangienne spéciale L n’est autre que R n + comme on peut le voirsur la relation ci-dessus en prenant θ i = 0 mod 2π. A titre d’exemple, le plan complexe C 2de coordonnée (z 1 , z 2 ) = ( |z 1 | e iθ 1, |z 2 | e 2) iθ peut être vue comme une fibration T 2 sur R 2 +.Notons que la fibre T 2 dégénère en un cercle S 1 sur les bords |z i | = 0 ; soit sur les deuxdemi droites R + = ∂R 2 + et en un point à l’origine (0, 0). La sous-variété Lagrangienne Lde C 2 correspond tout simplement θ 1,2 = const qui est isomorphe au quart du plan réel.Fig. 2-7 – C 2 est une fibration T 2 sur (R + ) 2 .(2) Sous variété spéciale lagrangienne MCe type de variété spéciale lagrangienne M = D r × T n−r de l’espace complexe C n estréalisée comme une fibration en tore T n−r sur chaque point du sous-espace linéaire D r dedimension r ≤ n. Le sous espace D r ∼ R r + est caractérisé par les (n − r) contraintes :n∑i=1qui réduisent l’espace R n + en D rq α i∣ zi ∣ ∣ 2 = c α α = 1, · · · , n − r. (2.43)∼ R r + paraméterisé par r coordonnées réelles s β . Pourchaque valeur fixée α, nous définissons un hyperplan où les nombres entiers q α i avec i =1..., n sont des vecteurs des charges normales et c α sont des constantes. Il s’ensuit que |z i | 2sont exprimées en fonction des s β par le biais r vecteurs vβ i dont l’équation est donnée par :∣ zi ∣ ∣ 2 = v i βs β + d i β = 1, · · · r (2.44)où d i sont des constantes et s βsont des coordonnées qui paramétrisent la sous variété38