Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

2.1 Généralités sur les variétés de CY2) Surfaces complexesAu dimension complexe 2, il n’existe que deux variétés de Calabi-Yau à isomorphismeprès. Il s’agit du tore T 4 et de l’espace K3. Sur ce dernier, aucune métrique explicite deRicci n’est connue. Il en va de même pour tous les Calabi-Yau de dimensions supérieuresnon-triviales. Le diagramme de Hodge de la surface K3 est :10 01 20 10 01(2.16)A partir de ce tableau on apprend que h 1,1 = 20 et le nombre de Betti b 2 = 22.3) Dimension complexe 3A partir de la dimension complexe 3 (6 dimensions réelles), le nombre de variétés deCalabi-Yau devient infini et il n’existe pas encore une classification générale. On peutconstruire toutefois un grand nombre de variétés possédant, en plus, la propriété d’être desvariétés toriques.i) Variété locale CP 1De la même façon, la variété complexe locale CP 1 est représentée par quatre coordonnées(x 1 , x 2 , z 1 , z 2 ) soumises à la condition (z 1 , z 2 ) ≠ (0, 0) où C ∗ est une action torique qui agitsur C 2 de la façon suivante (x 1 , x 2 , z 1 , z 2 ) ∼ (λ −1 x 1 , λ −1 x 2 , λz 1 , λz 2 ).L’espace total résultant est donné par la fibration de la surface O(−1) ⊕ O(−1) au dessusde la base CP 1 ; soit : O(−1) ⊕ O(−1) → CP 1 et peut être vu comme la somme de deuxfibrés en ligne sur la courbe projective complexe CP 1 paramétrisée par les deux variables(z 1 , z 2 ) en ajoutant 4 directions non compactes portées par les variables (x 1 , x 2 ) . Signalonsau passage que cet exemple représente le conifold résolu qui sera examiné en détail lors dela prochaine section.ii) Variété locale CP 2C’est une variété de Calabi-Yau non compacte à trois dimensions complexes pramétrisée28