Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

2.2 Conifoldoù µ est un nombre complexe. Cette hypersurface algébrique de C 4 décrit précisément leconifold déformé T ∗ S 3 dont la base S 3 est donnée par la partie réelle de cette relation. Parune transformation linéaire des coordonnées w 1,3 = z 3 ∓ iz 4 et w 2,4 = iz 1 ∓ z 2 , on peutramener l’equation ci-dessus à la forme usuelle suivante :w 1 w 2 − w 3 w 4 = µ. (2.25)En outre, le fait que la base S 3 est obtenue en posant w 2 = ¯w 1 , w 4 = − ¯w 3 , cette relationest généralement invariante sous l’action(w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ) → ( )e −iα w 1 , e iα w 2 , e −iβ w 3 , e iβ w 4 (2.26)où les paramètres α et β sont associés respectivement aux 1-cycles (1, 0) et (0, 1) de T 2 .Ces deux 1-cycles se dégénèrent respectivement aux lieux w 1 = w 2 = 0 ou w 3 = w 4 = 0qui correspondent aux deux géométries cylindriques suivantes :w 3 w 4 = −µ ,w 1 w 2 = +µ .(2.27)Ces géométries décrivent des courbes complexes ; soit des surfaces de Riemann non compactes.La structure de la fibration du conifold déformée est donnée par la base R 3 paramétriséepar les axes de ces cylindres et Re (w 1 w 2 ) . Ainsi la fibre T 2 × R du conifold estreprésentée par les cycles α et β et l’imaginaire de w 1 w 2 .Fig. 2-4 – Conifold déformé32