Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

3.3 Invariants topologiquesoù F est la contribution des instantons des surfaces d’univers qui est donnée par l’énergielibre F,F = ∑ g≥0∑βg 2g−2s N g β Qβ , (3.61)et où F class encode le nombre d’intersections a ijk des 2-cycles de genre g = 0F class = ∑ 1a6gs2 ijk t i t j t k + ∑ 124 b it i . (3.62)Les termes pour le genre g = 1 sont reliés à la seconde classe de Chern c 2 (M) comme∑∫bi t i = K ∧ c 2 (M) , (3.63)Mtandis que les applications constantes de genre g > 1 contribue par une puissance à lafonction de MacMahon comme exhibé dans l’eq(3.60),M(q) = ∏ n=1(1 − q n ) −n avec q = e −gs . (3.64)Dans le cas où la variété de Calabi-Yau est M = C 3 , les invariants de Gromov-Witten sontdonnés par [89, 135] :N g 0 = (−1)g |B 2g B 2g−2 |2g (2g − 2) (2g − 2)! , g ≥ 2 (3.65)avec B 2g est le nombre de Bernoulli [61]. Ce résultat donne l’amplitude de la corde topologiquesur la variété de Calabi-Yau C 3 dont la caractéristique d’Euler est χ(C 3 ) = 2. Cetteamplitude est exactement la fonction de MacMahon à 3 dimensionsZ (q) C3top = M(q) = ∏ n=1(1 − q n ) −n . (3.66)Une telle fonction a de nombreuses interprétations : En physique, elle permet d’effectuer lescalculs des amplitudes de théorie des cordes et des modèles de la physique statistique. Enmathématique, elle permet de calculer explicitement le lien avec les invariants topologiques.3.3.2 Invariants de Gopakumar-VafaNous commençons par rappeler que la compactification de la théorie de supercordetype IIA sur une variété de Calabi-Yau M donne la théorie de supergravité N = 2, D = 4avec h 1,1 est un vecteur multiplet [1, 10]. Chaque multiplet contient un champ gravitonnel64