Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Amplitudes des cordes topologiquesDans cette formule, q = e g sest liée au nombre quantique SU(2) L ⊂ SO(4) indiquant lareprésentation de spin de la particule à 4 + 1 dimensions, Q.t est la masse des états BP Set n g Qest un entier qui compte le nombre des états BPS avec les nombres quantiques Q etg.Expression de l’amplitudeL’expression de vertex trivalent dans le modèle A est déduit grâce à la dualité topologiquede N large [155] qui relie les amplitudes de Chern-Simons avec celles des cordestopologiques.Dans sa formulation originale, cette conjecture qui a été annoncée dans [169], et démontréedans l’article [67], stupile que l’équivalence du modèle A de la théorie de corde topologiqueouverte de N D-brane sur S 3 de T ∗ S 3 et le modèle A de la théorie de corde fermée surY = O(−1) ⊕ O(−1) → P 1 est maintenant bien établie [155][126, 160, 161].On considère la variété T ∗ S 3 avec N D-branes sur S 3 , avec l’enroulement de N 2 D-branesautour de lagrangienne L 2 sur la ligne de S 3 , ainsi que les N 1 et N 3 D-branes autour L 1 etL 3 respectivement sur les deux autres pattes.Nous introduisons les holonomies des champs de Jauge sur les branes L i notées respectivementcomme V i et calculées dans la représentation R i . La fonction de partition est donnéepar :Z (V 1 , V 2 , V 3 ) =∑1Z S3 R 1 ,R 2 ,R 3(−1) |R 1|+|R 2 |+|R 3 | 〈 〉T r R t1U 1 T r R2 U 2 T r R t3U 3× T r R t1V 1 T r R2 V 2 T r R⊗R3 V 3 T r R1 V1−1(3.43)où le facteur Z S3est une fonction de partition de S 3 . La valeur moyenne〈T rR t1U 1 T r R2 U 2 T r R t3U 3〉est considérée comme un observable dans la théorie de Chern-Simons qui correspond auxinvariants des entrelacs de Hopf. Pour la théorie duale, nous nous retrouvons avec unevariété Y = O(−1) ⊕ O(−1) → P 1 . Les D-branes qui enroulent les cycles compacts disparaissent,alors que les D-branes sur les cycles non-compacts survivent après la transition.Après avoir effectuer la limite N large où t = Ng s tend vers l’infini, Y devient une variétéC 3 . On peut cependant déduire l’amplitude de la théorie de corde topologique. Lesquantités ainsi obtenues sont données comme suit :〈T rR t1U 1 T r R2 U 2 T r R t3U 3〉= ZS 3 W R t1 R 1W R3 R 1W R1 •173