Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

4.1 Variétés de CY toriques et cristal fonduSi ces deux partitions 2D µ et ν s’entrelacent, alorsµ 1 ≥ ν 1 ≥ µ 2 ≥ ν 2 ...Dans ce qui suit, µ k désigne le nombre de boites dans la k-ème ligne de µ. Dans ce formalisme,on utilise la correspondance entre les partitions 2d des tranches diagonales et lesétats de Fock dans le secteur NS d’un fermion complexe ou un boson (via la bosonisation).d∏|µ〉 = ψ ∗ −a iψ −bi |0〉 (3.10)avecψ (z) = ∑ ψ n+1 z −n−1 ,2n∈Zi=1ψ ∗ (z) = ∑ n∈Zψ ∗ n+ 1 2z −n−1 ,{ψ n+12}, ψ ∗ −m−= δ 1 m,n (3.11)2et |0〉 est l’état qui est annihilé par tous les ˜ψ r , r ∈ Z + 1/2. Pour un diagramme de Youngν, on peut définir ses coordonnées de Frobenius par :{ }boite noire : µi − i + 1 | i = 1, 2, · · ·2boite blanche :{j − µtj − 1 2| j = 1, 2, · · ·}(3.12)où µ t est le transposé de diagramme de Young. Il s’avère que dans le formalisme de matricede transfert, les éléments matriciels entre les partitions sont donnés par les opérateursvertex qui sont définis comme des opérateurs de création et d’annihilation. En termes demodes J ±k , sont les modes de courant de Noether U(1) 1 , ces opérateurs sont donnés parΓ ± (z) = exp( ∑ n>0z ∓nn J ±n) J(z) =: ψ(z) ∗ ψ(z) : = ∑ m∈Z z−m−1 J m ,et satisfont les relations de commutation suivantes :(3.13)[J n , J m ] = −nδ n+m,0 , [J n , ψ k ] = ψ k+n , [J n , ψ ∗ k] = −ψ ∗ k−n . (3.14)Etant donné deux partitions λ et µ, les opérateurs de création et d’annihilation Γ ± vérifientles équations suivantes :1 courant fermioniqueΓ + (x)Γ − (x) =〈λ| Γ + (x) |µ〉 =〈µ| Γ − (x) |λ〉 =( )1 − x Γy − (x)Γ + (x),{Sµ/λ (x) λ ≺ µ0 sinon{Sµ/λ (x) λ ≺ µ0 sinon,.(3.15)110