Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

4.5 Invariants topologiques dans le modèle cristallinFig. 3-10 – Branes et anti-branes dans les slices positives et négatives de cristal C 3 .4.5.1 Invariant unknotConsidérons l’exemple d’une seule brane sur l’axe y du vertex qui est décrite par lemodule a dans le cristal. La fonction de partition s’écrit donc en termes de la fonction deMacMahon comme :Z(a, q) = M(q)L(a, q), (3.57)où L(a, q) est la fonction génératrice des invariants unknot 3 . On la développe de la manièresuivante avec [n] = q n 2 − q −n2 :L(a, q) = e P ∞n=1 ann[n] a= 1 + „ « + a 2 q2+ · · ·q 1 2 −q −1 (q 2 −1)(q−1)2= ∑ (3.58)R W R•a |R|de sorte que cette fonction peut être exprimée par une somme sur toutes les représentationsR associées aux lignes dans les diagrammes de Young, par exemple 1 = □, 2 = □□, etc.D’où W R• correspond à un invariant unknot. Une telle fonction de partition des invariantsdénoués (unknot) qui est en accord avec les résultats des théories de Chern-Simons étudiésdans le cadre de la transition géométrique, ne peut exister que si nous avons une seulebrane insérée dans le cristal C 3 .3 dénoué en français124