Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

2.3 Variétés de CY toriquesFig. 2-6 – Transition géométrique entre le conifold déformé T ∗ S 3 et le conifold résolu.Il est intéressant de remarquer que la théorie des cordes puisse donner des résultats équivalentsau niveau de la théorie effective à 4 dimensions lorsqu’elle est compactifiée sur deuxvariétés de Calabi-Yau à trois dimensions différentes reliés par une transition géométrique.C’est le passage du conifold résolu O(−1) ⊕ O(−1) → CP 1 à celui défomé T ∗ S 3 [110],[111]et vice versa [106] :O(−1) ⊕ O(−1) → CP 1 ↔ T ∗ S 3 .La dégénérescence du 2-cycle S 2 du conifold résolu est accompagnée de l’apparition d’un3-cycle S 3 du conifold déformé et réciproquement comme le montre la figure (2-6). En effet,la transition géométrique permet de relier les versions du conifold et constitue une dualitéentre les théories des cordes vivant sur ces deux géométries non-singulières. Cette propriétéest à la base de la conjecture de Gopakumar et Vafa qui ont proposé que la théorie de cordetopologique ouverte sur le conifold résolu est duale à la théorie de la corde topologiquefermée sur le conifold déformé. En language de théorie des champs, cette dualité relie lesthéories de jauge et celles gravitationnelles ; elle est communément connue sous le non dedualité jauge-gravité ou dualité corde ouverte-corde fermée. Cette dualité sera étudiée dansle chapitre 3 dans le cadre de la théorie de cordes topologiques.2.3 Variétés de CY toriquesLes variétés toriques constituent un sujet d’actualité et possèdent un grand intérêt enthéorie des cordes. Elles forment une classe de variétés suffisamment riche pour permettreà la fois de tester et illustrer diverses conjectures en théorie de cordes. Elles ont ses applicationsdans de nombreuses branches en mathématiques, notamment en topologie et dans34