Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Diagrammes et tableaux de Youngd’entiers naturels non nuls.8.1.1 Définitions et propriétésPrenons un nombre entier positif n fixé. Une partition de n est une suite d’entiers nonnégatifs décroissante, tels que λ r ≥ λ r+1 pour tout r ≥ 1. Elle admet la notation classiqueλ = (λ 1 , λ 2 , ..., λ r )et représenté par un ensemble de points de coordonnées (i, j) avec 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ λ i .On associe à chaque partition de poids n une représentation graphique donnée par undiagramme de Young, ou diagramme de Ferrer. La taille d’une partition est la somme desentiers qu’on la note :|λ| = ∑ iλ iLes entiers λ i , pour i ∈ {1, ..., r} sont les parts de λ. On dira que λ est paire lorsque toutesses parts le sont. La longueur d’une partition est sous la forme l (λ) = r = max{i ∈ N|λ i > 0}. Il est souvent pratique de décrire une partition par ses ordres de multiplicité, onnotem i = m i (λ) = Card {j : λ i = i} .Ainsi la partition s’écrit aussi sous forme exponentielle comme⎛⎞λ =⎝1, · · · 1, 2, · · · 2, · · · n, · · · n⎠} {{ } } {{ } } {{ }m 1 fois m 2 fois m n foisλ = (1 m 1, 2 m 2..., r mr )Dans ce cas, le poids de la partition associée est représenté par|λ| = ∑ k≥1km kLa partition conjuguée de λ, notée λ ′ est celle dont le diagramme de Young est symétriqueau diagramme de λ par rapport à la diagonale principale ; avec :λ ′ i = Card {j : λ j ≥ i}On ne fait pas la distinction entre une partition et son diagramme.Exemple1 : La suite d’entiers (5, 4, 2, 2, 1, 1, 1) est une partition de 17 dont l’écriture exponentielleest (1 3 2 2 3 0 4 1 5 1 ). Son diagramme de Young est representé dans la figure (3-1)244