Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Diagrammes et tableaux de YoungTableaux de YoungUn tableau de Young T est un diagramme de Young dont les cases sont remplies par desentiers compris entre 1 et m. Une forme standard d’un tableau répond aux règles suivantes :dans une même ligne les nombres sont croissants et ils sont strictement croissants dans unecolonne. La partition est appelée la forme du tableau. Il existe deux types de tableaux :• Un tableau standard T est un tableau contenant les entiers (1, 2, · · · , n) de sorte que lesnombres soient placés de façon strictement croissante de gauche à droite dans les lignes,et de bas en haut dans les colonnes où le nombre de tableaux standard de la forme λ estaussi la dimension d’une représentation irréductible et il est donné par :n!∏h(i, j)i,j(3.1)Exemple de tableau standard de forme λ = (5, 4, 3, 2)13 1410 11 126 7 8 91 2 3 4 5• Un tableau semi-standard est un tableau dans lequel les nombres sont placés de façoncroissante de gauche à droite dans les lignes et strictement croissante de bas en haut dansles colonnes. Les nombres de tableaux semi-standard d’une partition λ = (2, 1) s’écriventsous la forme :d (2,1) = ∏(i,j)∈λm + j − ih(i, j)= 3 + 1 − 1h(1, 1) = 3 × 3 + 2 − 1h(1, 2) = 1 × 3 + 1 − 2h(2, 1) = 1 = 8Exemple de tableau semi-standard de forme λ = (5, 4, 3, 2)7 84 5 62 2 3 51 1 2 3 4Il existe aussi un tableau semi standard de forme λ/µ qui est une application T de λ/µdans l’ensemble des entiers strictement positifs tels que les indices vont en décroissant248