Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Théories de cordes topologiques, Invariants et D-braneoù Q ± et ¯Q ± sont les générateurs de l’algèbre supersymétrique N = 2 qui est une sousalgèbre de la superalgèbre conforme. Les paramètres fermioniques ɛ − , ¯ɛ − sont les paramètresdu groupe de supersymétrie N = 2 sur la surface d’univers ; ce sont des sections de K 1 2tandis que ɛ + , ¯ɛ + des sections de ¯K 1 2 . Les transformations supersymétriques échangentbosons et fermions et s’écrivent explicitement comme suit :δφ i = ɛ − ψ i + − ɛ + ψ i − , δφī = −¯ɛ − ψī + + ¯ɛ + ψī−δψ i + = −i¯ɛ − ∂ z φ i + ɛ + ψ j −Γ i jmψ m + , δψī + = −iɛ − ∂ z φī − ¯ɛ + ψ¯j−Γī¯j ¯m ψ ¯m +δψ i − = −i¯ɛ + ∂¯z φ i − ɛ − ψ j +Γ i jmψ m − , δψī − = −iɛ − ∂¯z φī + ¯ɛ − ψ¯j+Γī¯j ¯m ψ +. ¯m(3.11)Notons au passage que l’action du modèle sigma non linéaire ne peut pas être globalementdéfinie sur une surface d’univers de genre g ≠ 1. Dans le cas du tore de genre g = 1, lefibré canonique est trivial et les fermions sont donc des scalaires.c) Modèle Landau GinzburgLe modèle Landau-Ginzburg N = 2 sur une variété Kahlerienne de potentiel de Kahler Kest une théorie supersymetrique vivant sur une surface d’univers bidimentionnelle (surfacede Riemann Σ ). En language des superchamps, l’action de ce modèle s’écrit en fonctiondes superchamps chiraux comme suit :∫S Σ = d 2 xd 4 θK ( Φ, ¯Φ ) ∫+ΣΣd 2 xd 2 θW (Φ) + cc, (3.12)où ( x, θ ÷ ±, θ − ±)est le superespace N = 2 à 2D, K = K(Φ, ¯Φ) est le superpotentiel de Kahleret où W = W (Φ) est le superpotentiel holomorphe en Φ.Avec ces rappels sur l’algèbre supersymétrique et les théories superconformes N = 2 à 2D,nous abordons la théorie de corde topologique.d) Algèbre twistée N=2Pour fixer les idées, nous commençons par rappeler les deux propriétés utiles suivantes : (1)La théorie des cordes topologiques est une théorie superconforme N = 2 à 2D twistée. Nousintroduisons les types de twistes possible juste après. (2) Il y a deux manières d’obtenir unethéorie des champs topologiques à partir d’une théorie superconforme N = 2. Ce sont lemodèle-A et le modèle-B auxquels nous avons fait référence auparavant. Ces deux modèlessont évidemment liés et la relation entre eux est donnée par la symétrie miroir.L’algèbre définissant la symétrie sous jacente à toute théorie topologique sur une variété deKahler X peut être formellement obtenue à partir d’un changement de variables linéairesdes courants de l’algèbre superconforme. Ce changement, communément désigné par twist,est défini comme suit :T (z) → ˜T (z) = T (z) ± 1 ∂J(z) , (3.13)251