Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Variétés de CY et Géométrie Toriqueet l’action du groupe G = U(1) k−3 sur les coordonnées est définie par :z j → exp(iQ j aα a )z j , a = 1, ..., k − 3. (2.37)Il s’avère qu’il existe une procédure très générale, dite de quotient symplectique, qui permetde définir la variété de Calabi-Yau torique à trois dimensions comme suit :M = ∩k−3 a=1µ −1 (Re(t a )), (2.38)Goù les k − 3 paramètres t a sont les modules de Kahler complexifiés.La description de la variété torique a également une réalisation physique en terme demodèles sigma linéaires supersymétriques. C’est une théorie de jauge à deux dimensionsde groupe de jauge U(1) k−3 impliquant k − 3 superchamps vectoriels V a = V a(x, θ± , ¯θ ±)et k superchamps chiraux Φ iΦ i (x, θ ± ) = z i (x) + θ + ψ −i (x) + θ − ψ +i (x) + θ + θ − F −i (x) , (2.39)dont les éléments scalaires sont précisément les variables z i et ou les Q i a sont alors les chargesdes superchamps Φ i sous le groupe de jauge U(1) k−3 . Il s’ensuit que dans la branche deCoulomb, les états supersymétriques de la théorie sont représentés par les équations deschamps auxiliaires D a = V a | θ 2 l’éq(2.35). En d’autres termes, la branche de Coulomb de±¯θ2 ±l’espace des états supersymétriques du GLSM est une variété torique M définie commedans éq(2.38). Une variété torique est de Calabi-Yau si et seulement si les charges Q i a∑satisfont la condition k Q i a = 0 quelque soit la valeur de a.i=12.3.3 Sous-variétés spéciales lagrangiennes (SSL)Une sous variété spéciale lagrangienne L de dimension réelle n d’un espace de Calabi-Yau de dimension complexe n munie d’une (1, 1)-forme de Kahler ω et de (n, 0)- formeholomorphe Ω est définie par [77, 78] :ω| L ≡ 0, Im Ω = 0. (2.40)Dans l’espace Euclidien R 2n = C n de coordonnées complexes (z 1 · · · z n ) avec z i = |z i | e iθ i,on distingue deux types (SSL) que nous noterons dans ce qui suit par L et M :(1) Sous variété spéciale lagrangienne LUne sous-variété spéciale lagrangienne L de dimension réelle n dans C n telle que la restrictionde ωω =n∑d |z i | 2 ∧ dθ i , (2.41)i=137