Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

5.3 Vertex Topologique et Théorie de Chern-SimonsHopf W λµ = W µλ dans les représentations de SU(N). Dans un premier temps, nous allonsbrièvement rappeler les différents ingrédients importants pour notre étude qui sont donnéspar les relations suivantes :q = exp(g s ) = exp( ) 2πi, λ = q N .k + NDans la dualité avec la théorie des cordes topologiques sur une classe de variété de Calabi-Yau [155], nous avons t = Ng s et λ = e t . Considérons W R ≡ W R0 qui est liée aux invariantsde Chern-Simons dénoués dans une représentation arbitraire R. Pour le cas de l’invariantd’entrelacs de Hopf, les invariants W R1 R 2pour les représentations R 1 , R 2 sont donnés par :(W R1 R 2) U(N)= q l 1 l 2N (WR1 R 2) SU(N)(3.42)où l i est le nombre total de boîtes dans le tableau de Young R i , i = 1, 2. Le préfacteurq l 1 l 2N apparaît dans l’éq(3.42) est une correction qui a été établie dans [171].5.3.2 Expression de l’amplitudeEnergie libreNous rappelons certaines propriétés des amplitudes du modèle A topologique. On définitalors l’énergie libre du modèle A topologique F (X) comme la série formelle :F (X) =∞∑g=0gs2g−2 F g (t)où F g (t) est l’énergie libre de genre g. Elle peut être définie comme une somme sur les deuxclasses d’homologies des instantons de surface d’univers de genre gF g (t) = ∑ QN g,Q e −Q.t .où le vecteur Q ∈ H 2 (X, Z) est nommé par la classe d’homologie, t est le paramètre deKahler et N g,Qsont des invariants de Gromov-Witten. L’énergie libre F (X) peut êtreutilisée pour compter les états BP S sur les variétés de Calabi-Yau associées aux D2-branes enroulant les courbes holomorphes dans X. Cela implique que l’énergie libre est dela forme :F (X) =:∞∑∑∞∑n=1 Q∈H 2 (X) g=0n g Q (2sinh(ng 2g−2 e−nQ.ts/2))n .172