Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Fonctions de Schur et MacMahona) Bosonisation dans l’espace de HilbertPar la suite, nous allons voir comment l’espcae de Fock fermionique est isomorphe àl’espace de Fock bosonique des champs scalaires. Mais tout d’abord, considérons la sériegénératrice de champs chiral à deux dimensions :φ(z) = i ∑ n≠0α nnz n .On peut donc exprimer les bosons à l’aide des fermions. Cette correspondance est dueà la bosonisation qui est une construction propre à une dimension d’espace permettantd’exprimer les champs fermioniques d’une théorie en fonction de champs de Bose. Il s’agitd’une relation d’équivalence quantique exacte entre deux théories (une de fermions et unede bosons), connue sous le nom de la correspondance bosons-fermions telles que les bosonslibres α n sont issus de la bosonisation des fermions complexes qui vérifient les relationssuivantes :∑α n = ψ k+n ψ ∗ k, n = ±1, ± 2, · · ·k∈Z+ 1 2i∂φ = : ψψ :ψ = : e iφ :ψ ∗ = : e −iφ : .L’algèbre de l’oscillateur ou algèbre de Heisenberg est l’algèbre de Lie de base n vérifiantles relations de commutation suivantes :[α n , α m ] = −nδ n+m,0[α n , ψ k ] = ψ k+n[α n , ψ ∗ k] = −ψ ∗ k−nIl se trouve que l’action de l ’opérateur de création α −n sur le diagramme de Young estdonnée en ajoutant une seule bande de longueur n dans tous les chemins possibles. De lamême manière, en faisant agir l’opérateur d’annihilation α n sur le diagramme, cela conduità éliminer une bande de frontière du diagramme voir la figure (3-13).Cette équivalence s’établit en utilisant les opérateurs de vertex qui ont les mêmes dimensionsconformes que le fermion complexe :Γ ± (z) = exp ∑ n>0261z ±nn α ±n .