Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Vertex topologique raffinérésolu et leurs relations avec les invariants polynomials d’entrelacs de Hopf. Le point dedépart sera le vertex topologique raffin ayant l’expression suivante :C λµν (t, q) = ( ) ‖µ‖ 2 −|µ|q 2t k(µ)2 (t) ‖ν‖22 ˜Zν (q, t) ∑ tη( qt) |η|+|λ|−|µ|2s λ t /η (t −ρ q −ν ) s µ/η(t−ν t q −ρ)(3.27)L’expression de la fonction de partition raffinée en utilisant la figure (3-8), est donnée sousla forme suivante :Z λµ (q, t, Q) = ∑ ν(−Q) |ν| C ∅µν (q, t) C λ∅ν t (q, t) . (3.28)avecC ∅µν (q, t) = ( ) ‖µ‖ 2q 2t k(µ)2 (t) ‖ν‖2 ( )2 ˜Zν (q, t)stµ t −ρ q −νtC λ∅ν t (q, t) = ( ) |λ|q 2(q) ‖ ν t ‖ 2( )2 ˜Zν t(q, t)stλ t t −ρ q −νt(3.29)En utilisant les deux expressions de l’éq(3.29) , la fonction de partition en termes desfonctions de Schur s’écrit de la manière suivante :Z λµ (q, t, Q) = h λµ (q, t) ∑ ν(−Q) |ν| (q) ‖ ν t ‖ 22(t) ‖ν‖22 ˜Zν (q, t) ˜Z ν t(q, t)s λ t(t −ρ q −νt )sµ(t −ρ q −νt )h λµ (q, t) = ( ) ‖µ‖ 2 −|λ|q 2t k(µ)2tLa fonction de partition normalisée est donnée par la formule suivante :(3.30)Ẑ λµ (q, t, Q) = Z λµ(q,t,Q)Z ∅∅ (q,t,Q)(3.31)avecZ ∅∅ (q, t, Q) = ∑ (−Q) |ν| (q) ‖ ν t ‖ 22(t) ‖ν‖22 ˜Zν (q, t) ˜Z ν t(q, t)ν∏= ∞ () (3.32)1 − Qq i− 1 2 t j− 1 2i,j=1Nous évoquons par la suite les invariants d’entrelacs de Hopf et nous présentons la relationavec la fonction de partition de corde ouverte en utilisant le vertex topologique raffiné.En donnant un entrelacs coloré par une collection de représentations R 1 · · · , R l de sl(N),l’invariant polynomial correspondant est donné par :¯P sl(N)R 1···R k(q) (3.33)221