Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Contributions à l’Etude du Vertex Topologique en Théorie des CordesUne configuration du cristal fondu est décrite par une partition π, représentée par undiagramme de Young à 3 dimensions généralisant le diagramme de Young usuel. Chaquepartition contribue par un facteurq = e −µToù µ est le potentiel chimique. La fonction de partition génératrice Z cristal de la fusioncristal est alorsZ cristal = ∑ πq |π| . (1.5)Cette fonction, qui dépend de la température et du potentiel chimique, est aussi celle dela corde topologique du modèle A conduisant ainsi à l’identification suivanteZ cristal (q) = Z top (q) , (1.6)où la constante de couplage de la corde g s est maintenant interprétée en terme de températureg s = 1 T .Notons que le paramètre q qui satisfait la condition 0 < q < 1 joue le rôle du potentiel chimique; soit l’énergie de l’arrachement d’un atome du cristal. La fonction ∑ q |π| représentela somme de toutes les partitions planaires π. Une telle fonction est bien connue dans lalittérature et est égale à la fonction de MacMahon à trois dimensions∞∏Z 3D = M(q) = (1 − q n ) −n . (1.7)L’un des résultats principaux de la dualité cristal/corde (1.6) est l’emergence du vertextopologique C R1 R 2 R 3comme objet fondamental à l’instar des vertex de la théorie quantiquedes champs. Les trois pattes externes suivant les directions x, y et z de ce vertex sont interprétéesen termes de représentations R 1 , R 2 , R 3 du groupe SU (N) ; soit aussi en termesdes diagrammes de Young à 2 dimensions. L’expression explicite du vertex topologiqueC R1 R 2 R 3peut être obtenu en utilisant le formalisme de la matrice de transfert [91]∑C R1 R 2 R 3= M(q) −1 q |π| . (1.8)n=1π→{R 1 R 2 R 3 }Dans le cas le plus simple du vertex topologique C ∅∅∅ , qui est aussi la fonction de partitionde C 3 , où les représentations portées par les pattes externes sont des représentations18