Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

H. Jehjouh Generalized MacMahon G(q) as q-deformed CFT Correlation Function4.5.2 Invariant Entrelacs de HopfCherchons à déterminer la fonction de partition ˜Z(a, b, q) qui régit la fonction génératricedes invariants d’entrelacs de Hopf. Pour cela, insérons une antibrane sur l’axe des xet une brane sur l’axe y. La fonction de partition sera sous cette forme :˜Z(a, b, q) =Z(a, b, q)M(q)(3.59)avecZ(a, b, q) = ∑ Rq k R +k R2 W R t P ta|R| b |R| (3.60)où k R = |R| + ∑ i R i (R i − 2i) et M(q) est la fonction de MacMahon à trois dimensions. Ilest intéressant de remarquer que le vertex avec une représentation triviale est fortement liéaux termes des invariants de Hopf d’entrelacs W P R , qui peuvent être exprimés en termesdes fonctions de schur comme :W P R = q k R/2 C P R t •= s P (q ρ ) s R(qρ+R )= q 1 2 (k R+k P ) ∑ η s R t /η (q ρ ) s P t /η (q ρ ) .(3.61)En appliquant la même procédure des deux cas précédents, on peut effectuer une fonctiongénératrice des invariants d’entrelacs de Hopf avec n branes sur l’axe des y et m antibranessur l’axe des x. Alors, la fonction de partition aura la forme suivante :˜Z(a 1 , · · · a n ; b 1 , · · · b m ; q) = ∑ ∑ q k R +k R2 W P t R ta|R 1|1 · · · a |R n|n b |P 1|1 · · · b |P m|m (3.62)où R = (R n , ..., R 1 ) et P = (P m , ...P 1 ) sont des partitions 2D. Enfin, l’un des aspects lesplus intéressants est que les résultats obtenus puissent donner des informations utiles surla fonction de partition des invariants de la théorie des cordes topologiques en présence desbranes.Pour conclure ce chapitre, remarquons que la découverte de la dualité entre le modèlede la physique statistique et la théorie de corde topologique du modèle-A sur une variétéde Calabi-Yau de dimension 3 a montré un lien inattendu entre les efforts fournis pourconstruire les amplitudes de la théorie des cordes topologiques type A et B sur le conifoldrésolu. Tout cela suggère que la variété de Calabi-Yau cristal pourrait être un bon candidatpour déduire la relation entre la théorie des cordes topologiques et les modèles de lamécanique statistique.125