Contributions à l'Etude du Vertex Topologique en Théorie ... - Toubkal

Variétés de CY et Géométrie ToriqueLe premier terme de ces relations décrit la sphère S 3 d’équation ⃗x 2 = r2 2 . L’équation ⃗y2 = r2 2avec ⃗x.⃗y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 = 0 paramétrise la sphère S 2 fibrée sur la sphère S 3 .Ainsi, nous interprétons les variables x k comme des coordonnées de la sphère S 3 ∼ SU(2)et les y k comme celles de la sphère S 2 ∼ SU(2) de rayon r/ √ 2. En fixant les xU(1)k , les variablesy k doivent être orthogonales à ⃗x et se déplacent sur la sphère S 2 . Ainsi, le conifold singulierest un cône de base S 3 × S 2 et la singularité correspond au point x = y = 0 comme lemontre la figure (2-3) suivanteFig. 2-3 – Conifold singulierLa base S 3 × S 2 du conifold singulier peut alors être vue comme la variété :B = SU(2) × SU(2)U(1) , (2.23)qui est isomorphe à SO(4) . Après avoir décrit la singularité du conifold, nous étudionsU(1)maintenant la levée de la dégénérescence qui peut être déformée de deux façons : (i) parremplacement du point singulier en utilisant une sphère S 2 , ce qui conduit au conifoldrésolu. (ii) en remplaçant le point singulier par une sphère S 3 , ce qui conduit au conifolddéformé [60, 97, 99, 111, 112].2.2.2 Conifold déformé et conifold résoluDans ce paragraphe, nous étudions les deux façons de résoudre la singularité du conifold,à savoir la déformation de la structure complexe et la résolution de la structure de Kahler.a) Conifold déforméDans le système de coordonnées locales (z i ), la déformation complexe de la singularité duconifold correspond tout simplement à la déformation de l’éq.(2.18) qui devient alors :z1 2 + z2 2 + z3 2 + z4 2 = µ, (2.24)31