Leabhar Iomlán - Cogg

Cruthúnais ar éagothromóidíNuair a bhíomar ag plé le héagothromóidí, thugamar dhá asbheirt thábhachtacha faoi deara, eadhon(i) Má tá a > b, tá a b > 0(ii) (réaduimhir ar bith) 2 > 0.Sampla 7Cruthaigh trí ionduchtú go bhfuil 2 n > n 2 do n 5, n N.Cruthúnas:(i) Cruthaigh go bhfuil an ráiteas fíor do n 5.2 5 5 232 25 atá fíor.(ii) Glac leis go bhfuil sé fíor do n k, k 5.⇒ 2 k k 2 , k N agus k 5.(iii) Bunaithe ar an mbonn tuisceana sin, caithfimid a thaispeáint anois go bhfuil an ráiteasfíor do n k 1.An bhfuil 2 k 1 (k 1) 2 ?Ó tharla go bhfuil 2 k > k 2 (glactar leis sin) 2 k . 2 2k 2 2 k 1 2k 2 caithfimid a chruthú go bhfuil 2k 2 > (k 1) 2 .2k 2 k 2 2k 1k 2 2k 1 0k 2 2k 1 1 1 0 ag slánú na cearnóige trí leath chomhéifeacht kk 2 2k 1 2 0 chearnaithe a shuimiú agus a dhealú(k 1) 2 2 0 atá fíor do k 5. 2 k 1 2k 2 (k 1) 2 Tá sé fíor do n k 1.(iv) Ach ó tharla go bhfuil sé fíor do n 5, caithfidh sé a bheith fíor anois do n 5 1 6.Agus má tá sé fíor do n 6, tá sé fíor do n 6 1 7, srl.(v) Dá bhrí sin tá sé fíor do gach luach n 5, n N.Sampla 8Cruthaigh trí ionduchtú go bhfuil n! > 2 n , n 4, n N.Cruthúnas:(i) Cruthaigh go bhfuil an ráiteas fíor do n 4.4! 2 424 16 atá fíor.270