Leabhar Iomlán - Cogg

(ii) Glac leis go bhfuil sé fíor do n k, k 4.⇒ k! 2 k , k N agus k 4.(iii) Bunaithe ar an mbonn tuisceana sin, caithfimid a thaispeáint anois go bhfuil an ráiteasfíor do n k 1.An bhfuil (k 1)! 2 k 1 ?An bhfuil (k 1)k! 2 k . 2 ? (k 1)k! (k 1)!Ó tharla go bhfuil k! > 2 k (glactar leis sin), (k 1)k! (k 1)2 k caithfimid a chruthú go bhfuil (k 1)2 k 2 k . 2(k 1)2 k 2.2 k atá fíor cinnte má tá k > 1. (k 1)! 2 k 1 Tá sé fíor do n k 1.(iv) Ach ó tharla go bhfuil sé fíor do n 4, caithfidh sé a bheith fíor anois do n 4 1 5.Agus má tá sé fíor do n 5, tá sé fíor do n 5 1 6, srl.(v) Dá bhrí sin tá sé fíor do gach luach n 4, n N.Sampla 9Cruthaigh go bhfuil (1 x) n 1 nx do n 1, n N, x R.Cruthúnas:(i) Cruthaigh go bhfuil an ráiteas fíor do n 1.⇒ (1 x) 1 1 1. x atá fíor.(ii) Glac leis go bhfuil sé fíor do n k, k 1.(1 x) k 1 kx, k N agus k 1.(iii) Bunaithe ar an mbonn tuisceana sin, caithfimid a thaispeáint anois go bhfuil an ráiteasfíor do n k 1.An bhfuil (1 x) k 1 1 (k 1)x ?An bhfuil (1 x) k (1 x) 1 kx x ?Ó tharla go bhfuil (1 x) k 1 kx (glactar leis sin). (1 x) k (1 x) (1 kx)(1 x) caithfimid a chruthú go bhfuil (1 kx)(1 x) 1 kx x1 x kx kx 2 1 kx x.⇒ kx 2 0 atá fíor do k 1 agus x R. Tá sé fíor do n k 1.(iv) Ach ó tharla go bhfuil sé fíor do n 1, caithfidh sé a bheith fíor anois do n 1 1 2.Agus má tá sé fíor do n 2, tá sé fíor do n 2 1 3, srl.(v) Dá bhrí sin tá sé fíor do gach luach n 1, n N.271