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212 C apitu ló lo Movimiento circular uniforme
Ejemplo 10.10 V Una astronauta con una masa de 100 kg viaja en una estación espacial que se mueve en una
órbita circular 900 km sobre la superficie terrestre, (a) ¿Cuál es la rapidez de la estación
espacial? (b) ¿Cuál es el peso del astronauta?
Plan: Primero debe determinarse el radio r de la órbita, que es igual a la suma de la altura
h y el radio de la Tierra (Re). Luego es necesario hallar la rapidez con base en la ecuación
(10.19) y el peso del astronauta a partir de la ley de la gravitación de Newton. Del ejemplo
10.8 se sabe que la masa de la Tierra es de 5.98 X 1024 kg.
Solución (a): Puesto que Re = 6.38 X 106 m y que h = 900 km, r se calcula como sigue
r = R + h = 6.38 X 106 m + 0.900 X 106 m;
e 7
r = 7.28 X 106 m
Ahora se encuentra la rapidez sustituyendo este valor en la ecuación (10.19)
Gme
/(6.67 X 10“ u N • m2/k g 2)(5.98 X 1024kg)
V A' r 7.28 X 106 m
= 7400 m /s (16600 mi/h)
Solución (b): El peso del astronauta de 100 kg en órbita se calcula a partir de la ley de
gravitación de Newton
_ Gmme _ (6.67 X 10~n N ■m2/kg2)(100 kg)(5.98 X 1024kg)
= 753 N
r 2 ~ 7.28 X 106 m
Como ejercicio adicional, compruebe el mismo resultado a partir de mv2/R . Note que
el astronauta no es en lo absoluto “ingrávido”, simplemente se encuentra en una situación
de caída libre que le da la apariencia de carecer de peso, puesto que no existe una fuerza
hacia arriba o normal que actúe para equilibrar el peso.
Figura 10.13 Los satélites
geosincrónicos están
ubicados de modo que puedan
moverse alrededor de
la Tierra en órbitas ecuatoriales
con un periodo igual
al de la Tierra (un día).
Para gran número de satélites, el periodo T, o sea el tiempo que le lleva al
satélite dar una revolución completa en su órbita, es muy importante. Por ejemplo,
los satélites de comunicación deben rodear la Tierra en un periodo igual
al que emplea el planeta en dar un giro; en otras palabras, necesitan un día.
Se dice que tales órbitas son geosincrónicas y los satélites se llaman satélites
sincrónicos. Como se observa en la figura 10.13, esos satélites permanecen
en un punto accesible en una latitud necesariamente constante, lo que permite
que con facilidad haya comunicación directa entre dos puntos de la Tierra. Son
necesarios tres satélites de éstos para permitir la comunicación por línea directa entre todos los
puntos de la Tierra.
La obtención de una relación entre el periodo T de un satélite (o de un planeta) y el radio
r de su órbita puede lograrse aplicando los conceptos que ya se han estudiado en este capítulo.
Si suponemos una órbita circular, la velocidad del satélite es:
I tív
Igualando esta expresión a v, como se indica en ecuación (10.19), tenemos
I Gm„ 2irr
r ' T
Al resolver para T se obtiene la ecuación siguiente:
r - = i ^ ' l r ’
Gm,
(10.20)
El cuadrado del periodo de una revolución es proporcional al cubo del radio de la órbita.